复变函数的极限和连续.ppt

(一)复变函数的极限1.定义是以任意方式设函数在点的某邻域内有定义，若对于任意给定的，总存在有，使得当时，就有，则称当时以为极限,并记为：性质(二)复变函数的连续数学物理方法第一章*1设在点及其邻域内有定义，并且当时，有：则称函数在点连续1.函数在某点连续的定义在区域B内各点均连续的函数称为在区域内B的连续函数注意：连续的定义比实变函数要求更严格连续函数：2一、导数1.3导数数学物理方法第一章*导数的定义：设函数是在区域B中定义的单值函数，对B内某一点，若极限存在，并且与的方式无关，则称在可导，并称这个极限值为在点的导数，记作：例1：设数学物理方法第一章*解:例2：试证明证明：而所以，该函数在复平面上不可导导数和微分的法则和公式微分的定义常用公式：数学物理方法第一章*二、柯西——黎曼条件（C-R条件）要解决的问题：给定一函数如何判断在点是否可导？在点可导的必要条件是存在，且满足C-R条件：导数存在的必要条件：证明：由导数的定义知，以任何方式趋于零时，极限存在，且有相同的极限值，即与的方式无关，使我们可讨论沿x轴和y轴趋于零的情形设沿平行于X轴的方向趋于零，数学物理方法第一章*沿平行于y轴的方向趋于零，B:可导函数的虚部与实部不是独立的，而是相互紧密联系的。04说明：A:C-R条件的有限性05因为在可导，因此01柯西-黎曼条件(C-R条件)03所以：02导数存在的充分必要条件在B内点z可导的充要条件是：函数的偏导数存在且连续，并且满足C-R条件。证明（板书）：12若函数在点a不解析,则称点a是f(z)的奇点。函数在区域数学物理方法第一章*二、函数解析的充要条件（或者点）解析的充要条件说明：由解析函数的定义可见解析函数是从普遍的复变函数中加上很强的条件后选出来的一类特殊的复变函数(这一类函数在物理学中有广泛的应用)解析函数的实部和虚部通过C-R条件互相联系，并不独立三、解析函数的性质数学物理方法第一章*0504020301正交性()若函数证明：梯度由C-R条件所以1.调和性数学物理方法第一章*若函数解析函数的求解由解析函数的充要条件可知，解析函数的实部和虚部通过C-R条件联系，因此如果知道解析函数的实部或虚部，则可求解该解析函数。下面以虚部已知证明。证明：2.方法数学物理方法第一章*曲线积分法全微分的积分与路径无关，故可以选取特殊积分路径，使积分容易算出01凑全微分显示法把du的等式右边凑成全微分显示02不定积分法03