复变函数概念2极限连续3解析函数概念.pptx

第二讲复变函数与解析函数

1.复变函数的定义2.映射的概念3.反函数或逆映射§5复变函数

—与实变函数定义相类似1.复变函数的定义定义PART01

例2例1

oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，w=f(z)可以看作：定义域函数值集合2.映射的概念——复变函数的几何意义zw=f(z)w

以下不再区分函数与映射（变换）。在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u，v与x，y之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）

解—关于实轴对称的一个映射见图1-1例3

oxy(z)图1-1uv(w)o

例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4

例设z=w2则称为z=w2的反函数或逆映射单击此处添加小标题∴为多值函数,2支.单击此处添加小标题定义设w=f(z)的定义集合为G,函数值集合为G*单击此处添加小标题则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.单击此处添加小标题3.反函数或逆映射

例已知映射w=z3，求区域0argz在平面w上的象。例章节一

01单击此处添加小标题函数的极限运算性质函数的连续性02单击此处添加小标题6复变函数的极限与连续性

1.函数的极限定义uv(w)oAxy(z)o几何意义:当变点z一旦进入z0的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中

(1)意义中的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高.(2)A是复数.2.运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理1(3)若f(z)在处有极限,其极限是唯一的.

以上定理用极限定义证!定理2

例2例3例1

定义3.函数的连续性定理3

例4证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。证明xy(z)ozz

例5PART1

有界性：定理4连续函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数。

第二章解析函数第一节解析函数的概念第二节函数解析的充要条件第三节初等函数

1.复变函数的导数定义2.解析函数的概念§2.1解析函数的概念

定义设函数w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果极限存在，则称函数f(z)在点z0处可导。称此极限值为f(z)在z0的导数，记作一.复变函数的导数(1)导数定义如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导。

例1(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。

(2)求导公式与法则----实函数中求导法则的推广证明对于复平面上任意一点z0，有①常数的导数c?=(a+ib)?=0.②(zn)?=nzn-1(n是自然数).

设函数f(z),g(z)均可导，则[f(z)±g(z)]?=f?(z)±g?(z)，[f(z)g(z)]?=f?(z)g(z)+f(z)g?(z)

思考题⑤反函数的导数，其中:w=f(z)与z=?(w)互为单值的反函数，且??(w)?0。④复合函数的导数(f[g(z)])?=f?(w)g?(z)，其中w=g(z)。

例3问：函数f(z)=x+2yi是否可导？解解例2

证明例4证明f(z)=zRez只在z=0处才可导。

复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举。

(3)可导与连续若w=f(z)在点z0处可导w=f(z)点z0处连续.

二.解析函数的概念定义如果函数w=f(z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析；如果f(z)在区域D内每一点都解析，则称f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的解析函数(全纯函数或正则函数）。如果f(z)在点z0不解析，就称z0是f(z)的奇点。(1)w=f(z)在D内解析在D内可导。(2)函数f