8-1多元函数概念极限连续.ppt

* * 第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的概念及其极限和连续 一．多元函数的概念 称为点 的 去心邻域. 若不需要强调邻域半径 用 表示点 的 邻域。 2、 邻域: 即 称为点 的 邻域。 设 为 面上一定点, 1、平面点集：平面上点的集合 3．区域 开集： 若点集 的点都是内点, 则称点集 为开集. 边界： 若存在 称点 为点集 的内点。 设 是平面上一个点集, 内点： 是平面上一点， 例如 是开集。 的边界是圆周： 和 边界点： 为 称 的边界点. 若点 的任一邻域内既有属于 的点, 也有不属于 的点, 设 是平面上一个点集, 或 的边界点的全体称为 的边界. 点集 连通： 设 是平面点集， 若对 内任意两点， 都可用 内的一条 折线连结起来, 则称 是连通的。 区域或开区域： 连通的开集称为区域或开区域.. 为区域或开区域 开区域连同它的边界一起， 闭区域： 称为闭区域。 为闭区域。 及 D不连通 开区域 闭区域 4. 维空间 有界的闭区域。 例如, 无界的开区域。 有界点集与无界点集： 对于任一点集 若它能包含在原点的 某一领域内， 则称 为有界点集， 否则称为 无界点集。 有界的开区域。 无界的闭区域。 数轴上： 点 实数 平面上： 点 空间中： 点 5．二元函数的定义 例如：圆柱体的体积 长方体的体积 类似可定义三元、四元函数，至到N元函数 二元以上的函数称为多元函数． 记为 定义１ 设 是平面上一点集， 若对 内每一点 变量 按照一定法则总有确定的值与之对应， 则称 是变量 的二元 函数（或点 的函数）， 点集 为其定义域． 为其自变量， 也称为因变量． 数集 称为该函数的值域。 （或 ） 例１．求下列函数的定义域： 解 (1) (３) (２) 6、二元函数的几何意义： 在几何上表示空间曲面. 如, 平面; 上半球面; 旋转抛物面; 上半锥面; 二．多元函数的极限 和连续 定义2 趋于零时, 记作 或 趋向于 设函数 在 内有定义, 对于任意 与定点 之间的距离 若点 或称常数 当 时的极限, 为 二元函数的极限称为二重极限。 注： 二元函数的极限概念可以推广到 元函数（自己推）。 一个常数A。则称A是P趋于 时，函数 的极限。 例2.讨论 是否存在? 解 极限值与 有关， 当点 沿直线 时， 趋于点 所以 不存在 ． 二重极限的存在， 时， 函数值都接近于 注： 反之， 当 以不同方式趋于 时， 函数值 趋于不同的值， 则函数的极限不存在。 以任何方式趋于 是指 例５．求极限 解 例6．求极限 解 注：多元函数的极限运算， 有与一元函数类似的运算法 则。夹逼准则，重要极限， 无穷小的性质及代换，变量 代换，连续性，四则运算法 则等，都可以应用于多元函 数的极限运算。但在使用罗 必达法则时，一般需要先将 二元函数的极限化为一元函 数的极限，然后再用。 四．多元函数的连续性 否则称 在点 处不连续， 则称点 为 的间断点． 则称函数 若函数 内每一点连续， 在区域 在 内连续， 或称 内的连续函数。 是 定义３ ． 则称函数 在点 处连续． 设函数 在区域 内有定义, 若 间断点 (1)无定义的点 例如，函数 间断点为： 所以，点 是函数的间断点。 再如，函数 （函数无定义的点） （间断曲线） (极限不存在) 在有界闭区域上多元连续函数具有性质： 性质１（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 上的连续函数， 一定能够取得最大值和最小值。 性质２（介值定理） 在有界闭区域 上的连续函数 ， 一定能够 取得介于最大值和最小值之间的任何数值。 （3）一切多元初等函数（能用一个式子表示的函数）在其有定义的区域内都是连续函数。 二元连续函数的性质 上的连续函数。 是区域 则 均为 （1）若 内的连续函数， （2）多元连续函数的复合函数仍然连续。 例7．求下列极限： 解 一元函数的性质或定理，若推广到二元函数也成立，则推广到其它多元函数都成立。 例1．设 求 解 无穷小 乘有界函数 所以 练习题 * * *