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经济数学基础教学课件作者顾静相teaching_06_04课件.ppt

发布：2016-12-27约1.8千字共22页下载文档

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* 6.4.1 无条件极值 6.4.2 条件极值 6.4 二元函数的极值　　定义6.7　设函数　　　　　在点　　　某一邻域内有定义，如果对邻域内的任意异于　　　的点　　，有则称　　　　是函数　　　的极大值；如果，总有，．则称是函数的极小值． 6.4.1 无条件极限返回 1/21 下一页下一页上一页上一页　　函数　　　的极大值和极小值统称为极值，使　　　取得极值的点称为极值点．在求函数　　　的极值时，如果没有其他任何限制条件，则此极值问题称为无条件极值问题. 否则称之为条件极值问题．求一个函数　　　的无条件极值，通常意味着在整个坐标平面或某个开区域内进行讨论． 6.4.1 无条件极限返回 2/21 上一页上一页下一页下一页　　例1　求　　　　　　　　　的极值．　　解　　　　　在点　　的某邻域内，对任意的点　　　　　，有．　　所以，函数　　　在　　处有极大值　　　　． 6.4.1 无条件极限返回 3/21 上一页上一页下一页下一页　　定理6.2(极值的必要条件)　如果函数　　　在点　　　处有极值，且在　　　处存在一阶偏导数，则，．　　使各一阶偏导数等于零的点　　　称为驻点. 6.4.1 无条件极限返回 4/21 上一页上一页下一页下一页 注意：根据定理 6.2，当函数存在一阶偏导数时，极值点必为驻点．但是，驻点未必是极值点．二元函数的极值也可能在偏导数不存在的点处达到．这与一元函数极值的有关结论是十分相似的． 6.4.1 无条件极限返回 5/21 上一页上一页下一页下一页 6.4.1 无条件极限则(1)当　　　　　时，则　　　不是极值；　(2)当　　　　　，且　　时，则是极大值；　　定理6.3(极值存在的充分条件)　如果函数　　　　在点　　　的某一邻域内有二阶连续偏导数，且　　　　　，　　　　 .记，，，返回 6/21 上一页上一页下一页下一页　　(3)当　　　　　，且　　　时，则　　　　是极小值；　　(4)当　　　　　时，不能判定　　　　是否为极值．这时，需用其他方法判定． 6.4.1 无条件极限返回 7/21 上一页上一页下一页下一页　　解　　　　　　，　　　　　.令　　　．　　．即解，，可得驻点和．又，，．　　例2　求函数　　　　　　　的极值． 6.4.1 无条件极限返回 8/21 上一页上一页下一页下一页　　对于驻点，　　，　　　　，　　　　　　，　　　　　　．所以．根据定理6.3，点　　不是极值点. 6.4.1 无条件极限返回 9/21 上一页上一页下一页下一页　　对于驻点　　，　　　　　　　，　　　　　　　，　　　　　　．所以，　　根据定理6.3，函数在点　　处取得极小值　　　　． 6.4.1 无条件极限返回 10/21 上一页上一页下一页下一页　　例3　求函数的极值．其中　　，　　. 　　解　　　　　，　　　　　.令　　　，　　，得驻点　　.又，．， 6.4.1 无条件极限返回 11/21 上一页上一页下一页下一页所以　　　　　　，　　　　　　，，又　　　　，所以函数在　　处有极小值 6.4.1 无条件极限返回 12/21 上一页上一页下一页下一页　　在求函数　　　　　的极值时，如果自变量　，必须满足一定的条件　　　　，这样的极值问题称为条件极值问题．　　　　称为约束条件或约束方程．所求出的极值称为条件极值．　　求解条件极值问题的方法——拉格朗日乘数法． 6.4.2 条件极值返回 13/21 上一页上一页下一页下一页其中　称为拉格朗日乘数．然后，求　　　的关于　，　，　的偏导数，并令它们等于零．求解方程组：，，． 6.4.2 条件极值返回 14/21 上一页上一页下一页下一页，首先构造拉格朗日函数：此方程组的解　　　就是可能极值点.最后判别　　　是否为极值点．一般可以根据问题的实际背景直接判定． 6.4.2 条件极值返回 15/21 上一页上一页下一页下一页 *

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