文档详情

经济数学基础教学课件作者顾静相teaching_09_04课件.ppt

发布：2016-12-29约1.89千字共25页下载文档

文本预览下载声明

* 9.4 向量组的秩 9.4 向量组的秩返回 1/24 下一页下一页上一页上一页　　定义9.5　若向量组　，　，　，　中的部分向量组　，　，　，　　　　满足：　　(1)　，　，　，　线性无关，　　(2)向量组　，　，　，　中的任意一个向量都可以由　，　，　，　线性表出．　　则称部分向量组　，　，　，为向量组　，　，　，　的一个极大无关组．，，，所以　，　为　，　，　的一个极大无关组． 9.4 向量组的秩返回 2/24 上一页上一页下一页下一页　　例1　设向量组　　　　　 , 　　 , 　　　　　 ,可以验证向量组　，　，　线性相关，但其中部分向量组　，　线性无关，而且　，　，　都可以由　，线性表出：　　同样可以验证部分向量组　，也是　，　，　的一个极大无关组．　　特别地，若向量组本身线性无关，则该向量组就是极大无关组．例如　维单位向量组　，　，　，　是极大无关组． 9.4 向量组的秩返回 3/24 上一页上一页下一页下一页　　定理9.7　向量组中若有多个极大无关组，则它们所含向量的个数是相同的． 9.4 向量组的秩返回 4/24 上一页上一页下一页下一页 9.4 向量组的秩．返回 5/24 上一页上一页下一页下一页　　如例1中的向量组的秩为　　　　　　　维单位向量组　，　，　，　的秩为　　　　　　　　　　　　　． , 　　定义9.6　向量　，　，　，的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩．记作 9.4 向量组的秩　　若一个向量组中只含零向量,则规定它的秩为零．返回 6/24 上一页上一页下一页下一页　　若一个向量组　，，，线性无关，则　　　　　　　；反之，若向量组的　　　　　　　 ,则　，　，，　一定线性无关．例2　对于构成下三角矩阵的　个列向量所构成的向量组.因为　　　　，所以这　个列向量是线性无关的，故这个向量组的秩也为　． 9.4 向量组的秩返回 7/24 上一页上一页下一页下一页例3　对于构成阶梯形矩阵 9.4 向量组的秩返回 8/24 上一页上一页下一页下一页 9.4 向量组的秩的五个列向量，因为主元所在的第一、三、四列的列向量组是线性无关的，而若再加一个列向量就是线性相关的，所以这五个列向量构成的向量组的秩为3,极大无关组就是主元所在列的列向量组．返回 9/24 上一页上一页下一页下一页　　例3的结论对于一般的阶梯形矩阵都成立，即阶梯形矩阵的列向量组的秩等于非零行的行数，等于矩阵的秩，而主元所在列的列向量就构成极大无关组．　　定理9.8　列向量组通过初等行变换不改变线性相关性． 9.4 向量组的秩返回 10/24 上一页上一页下一页下一页 9.4 向量组的秩返回 11/24 上一页上一页下一页下一页　　因此，当矩阵不是阶梯形矩阵时，我们可以通过初等行变换将其化为阶梯形矩阵，再求出列向量组的秩和极大无关组．另外，由矩阵与向量组之间的关系可知，矩阵的秩就是列向量组中极大无关组的向量个数，又因为　的列向量组就是　的行向量组，所以　的行向量组的秩就是　的列向量组的秩，由定理9.8知,其又等于　的秩，而　的秩等于矩阵　的秩．　　求一向量组的秩和极大无关组，可以把这些向量作为矩阵的列构成一个矩阵，用初等行变换将其化为阶梯形矩阵，则非零行的个数就是向量组的秩，主元所在列对应的原来向量组就是极大无关组．．．．．． 9.4 向量组的秩返回 12/24 上一页上一页下一页下一页　　定理9.9　矩阵　的秩　矩阵　列向量组的秩　矩阵　行向量组的秩．例4　设向量组，，， 9.4 向量组的秩返回 13/24 上一页上一页下一页下一页，求向量组的秩及其一个极大无关组．． 9.4 向量组的秩返回 14/24 上一页上一页下一页下一页　　解　作矩阵　　　　　　　，用初等行变换把　化为阶梯形矩阵，即 9.4 向量组的秩返回 15/24 上一页上一页下一页下一页．所以　　　　　　　　，且　，　，　为其中的一个极大无关组． 9.4 向量组的秩返回 16/24 上一页上一页下一页下一页　　求向量组的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表出．例5　设向量组，，，． 9.4 向量组的秩返回 17/24 上一页上一页下一页下一页 *

显示全部

相似文档