[2018年最新整理]16章插值法.doc

第16章 插值法 Lagrange插值 求n次Lagrange插值多项式算法 输入n+1个插值点： (xi, yi),i=0,1,…,n 计算插值基函数l0n(x), l1n(x) ,…, lnn(x) 给出n次Lagrange插值多项式：Ln(x)= y0 l0n(x)+ y1 l1n(x) +…+yn lnn(x) 求Lagrange插值多项式程序 Clear[lag,xi,x,yi]; xi=Input[xi=] yi=Input[yi=] n=Length[xi]-1; p=Sum[yi[[i]]*(Product[(x-xi[[j]])/(xi[[i]]-xi[[j]]),{j,1,i-1}] *Product[(x-xi[[j]])/(xi[[i]]-xi[[j]]),{j,i+1,n+1}]),{i,1,n+1}]; lag[x_]=Simplify[p] 说明：本程序用于求n次Lagrange插值多项式。程序执行后，按要求通过键盘输入插值基点xi:{x0 , x1, ... , xn }和对应函数值yi:{ y0 , y1 , … , yn }后，程序即可给出对应的n次Lagrange插值多项式lag[x]。 程序中变量说明 xi：存放插值基点{x0 , x1, ... , xn } yi: 存放对应函数值{y0 , y1 , … , yn} lag[x]: 存放求出的n次Lagrange插值多项式Ln(x) 注：语句lag[x_]=Simplify[p]用简化形式给出对应的n次Lagrange插值多项式。 例题与实验 例1．给定数据表 x 0 1 2 3 y=f(x) 1 3 5 12 用Lagrange插值法求三次插值多项式,并给出函数f(x)在x =1.4的近似值。 解： 执行Lagrange插值程序后，在输入的两个窗口中按提示分别输入{0, 1, 2, 3}、{1, 3, 5, 12}，每次输入后用鼠标点击窗口的“OK”按扭，得如下插值函数。 6 + 22 x - 15 x2 + 5 x3 ----------------------- 6 所以得到三次插值多项式L3(x)=1+11 x/3-5 x2/2+5 x3/6 接着键入“lag[1.4]”，则输出3.52，因此f(x)在x =1.4的近似值为3.52，即f(1.4)(3.52. Newton插值 求Newton插值多项式算法 1. 输入n+1个插值点： (xi, yi),i=0,1,…,n 2. 计算差商表 3.给出n次Newton插值多项式。 求Newton插值多项式程序 Clear[newt,s,x]; xi=Input[xi=] yi=Input[yi=] n=Length[xi]; (*计算差商表*) f=Table[0,{n},{n}]; Do[f[[i,1]]=yi[[i]],{i,1,n}] Do[f[[i,j+1]]=(f[[i,j]]-f[[i+1,j]])/(xi[[i]]-xi[[i+j]]), {j,1,n-1},{i,1,n-j}] Print[差商表] Do[Print[xi[[i]], ,f[[i]]],{i,1,n}] (*求Newton插值多项式*) fa=1; s=f[[1,1]]; Do[fa=(x-xi[[k]])*fa;s=s+fa*f[[1,k+1]],{k,1,n-1}] newt[x_]=s Simplify[%] 说明：本程序用于求n次Newton插值多项式。程序执行后，按要求通过键盘输入插值基点xi:{x0 , x1, ... , xn }和对应函数值yi:{ y0 , y1 , … , yn }后，程序依次给出输入的数据表、计算出的差商表、Newton插值多项式、Newton插值多项式的简化形式。 程序中变量说明： xi：存放插值基点{x0 , x1, ... , xn } yi: 存放对应函数值{y0 , y1 , … , yn} f:存放函数值{y0 , y1 , … , yn}及所有差商 newt[x]: 存放求出的n次newton插值多项式Nn(x) 注：（1)语句f=Table[0,{n},{n}]用于产生一个n(n的矩阵变元用于存放函数值{y0 , y1 , … , yn}及所有差商。 （2)在Mathematica中有一个求n次插值多项式的命令，命令形式 InterpolatingPolynomial[{{x01,y0}，{x1,y1},{x2,y2},…,{xn,yn}}, x] 它可以求过n+1个插值点{{