Chap02函数插值法.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 即使不考虑数据本身的特征和误差，多项式也有其自身的特点，用它来近似其它函数时必然会有差异。 * * 当n→∞时，Ln(x) 仅在|x|≤3.63内收敛于f(x)，在此区间外发散。 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 在我们设计算法时，应尽量拥有这种属性，即已经算出的结果，应能够继续使用。 Lagrange插值法是根据插值条件的几何意义，来计算插值多项式的。 而牛顿插值法是通过引入插商的概念，来计算插值多项式的。 * * * * * 性质 3:分子在取xk时为零，故有因子x-xk * 性质 3:分子在取xk时为零，故有因子x-xk 4: 函数的插值 4-* 设 其中 称为 Hermite 插值基函数. 要求: 是2n+1次多项式 是2n+1次多项式 4: 函数的插值 4-* 可以求得 整理后得 Hermite 插值多项式 可以证明 Hermite插值 多项式的唯一性 4: 函数的插值 4-* 2. Hermite 插值公式的余项 定理 3.1 设函数 f (2n+1)(x) 在区间[a , b]上连续， f (x) 的2n + 2阶导数在区间 (a , b) 内存在，则 Hermite 插值公式的余项为 关于 Hermite 插值公式的余项有如下定理. 其中 且依赖于 x . 因此有误差估计式: 其中: 4: 函数的插值 4-* 重要特例：n = 1 时的Hermite 插值公式 取节点xk及xk+1, 插值多项式为H3(x), 满足条件 于是可以求得 4: 函数的插值 4-* 3 分段插值 通过前面的讨论已经知道插值节点越多，所做插值多项式的次数也越高，但这并不意味着所做的高次插值多项式与被插值函数的误差越小，往往效果不一定好。 Runge曾给出一个实例说明了此现象，称为高次插值的Runge现象。 4: 函数的插值 4-* 3.1 高次插值的Runge现象 分别取n=6和10，画出L6(x)与L10(x)的函数图形如下： ， 作n次lagrange插值多项式 ， 令 ，在区间[-5, 5]上取等距 节点： 4: 函数的插值 4-* Runge现象演示图 4: 函数的插值 4-* 3.2 分段低次插值 在实际计算中，为避免高次多项式插值的Runge现象，而采用分段低次插值，即把插值区间 [a, b] 分成若干个小区间 [xi-1, xi] (i=1,2,…,n)，然后在每个小区间上进行低次（一次、二次或三次）多项式插值。 4: 函数的插值 4-* 定义3.1 设函数 y = f(x)在节点 a=x0x1…xn=b 处的函数值为yk= f (xk) (k = 0,1,…,n). 求一折线函数?h(x)使满足 在区间[a, b]上连续，即?h ?C[a, b] ； ?h(xk) = f (xk) (k = 0,1,…,n) 在小子区间[xk, xk+1], (k=0,1,…,n-1)上为线性函数： 则折线函数?h(x)称为f (x)在[a, b]上的分段线性插值多项式（或分段线性插值函数）。 阶段表达式 4: 函数的插值 4-* 分段线性插值的缺点在于所得插值函数在节点处一般不具有光滑性质。为了得到比较光滑的分段插值函数, 可采用分段三次Hermite插值。 4: 函数的插值 4-* 定义3.2设函数y =f (x)在节点xk处的函数值及其导数值为 函数 则函数h(x)为f(x)在[a, b]上的分段三次Hermite插值多项式。 h(x)满足： 在区间[a, b]上连续，即h ?C1[a, b] ； h(xk) = yk，h(xk) = mk，k = 0,1,…,n; 在小子区间[xk, xk+1], (k=0,1,…,n-1)上 4: 函数的插值 4-* 类似地, 我们可以定义分段二次插值多项式（分段抛物插值函数），分段三次插值多项式（分段立方插值函数）等。 设f (x)在区间[a, b]上具有连续的四阶导数, 则分段三次Hermite插值函数的余项估计 4: 函数的插值 4-* 分段线性插值与分段二次插值函数虽然在