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第二章 函数插值法 §1 引言 问题的提出 y f (x ) a , b 在实际问题中常遇到这样的函数 ,其在某个区间 [ ] 上是 a , b 存在的。但是,通过观察或测量或试验只能得到在 [ ] 区间上有限个离散点 x 0 , x 1 , L , x n 上的函数值 y f ( x i ) , (i 0 , 1 , L , n ) 或者 f ( x ) 的函数表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算,希望用一个 简单的函数来描述它。 插 值 问 题 的 数 学 提 法 : 已 知 函 数 y f (x ) 在 n+1 个 点 x 0 , x 1 ,L, x n 上的函数值 y i f ( x i ) , (i 0 , 1 , L , n ) ,求一 个多项式 y P (x ) ,使其满足 P ( x i ) y i , (i 0 , 1 , L , n ) 。即 要求该多项式的函数曲线要经过 y f (x ) 上已知的这 n +1 个点 x , y , x , y , L, x , y , ( )( ) ( ) x ∈ a , b 0 0 1 1 n n 同时在其它 [ ]上要 R ( x ) f ( x ) =−P ( x ) f (x ) 估计误差 。 当 n 1 时 , 求 一 次 多 项 式 P 1 ( x ) , 要 求 通 过 x , y , x , y ( 0 0 )( 1 1 )两点 x 0 当 n 2 时 , 求 二 次 多 项 式 P 2 ( x ) , 要 求 通 过 x 1 x , y , x , y , x , y ( 0 0 )( 1 1 )( 2 2 ) 三点 x 0 §2.拉格朗日插值公式 p 2 (x ) y 0 y1 y 2 2-1插值多项式的存在唯一性 x x 1 2 过 n+1 个 点 ( x i , y i ) i 0 , 1 , 2 , L , n ， 作 多 项 式 函 数 P a =+ a x + L + a x n n 0 1 n x 可构造（n+1 ）×(n+1)线性方程组确定参数 a i a +a x + L + a n x n y