第4章 函数逼近的插值法3.ppt

4.4 三次样条插值 前面我们根据区间[a,b]上给出的节点做插值多项式Ln(x)近似表示f (x)。一般总以为Ln(x)的次数越高，逼近f (x)的精度越好，但实际并非如此，次数越高，计算量越大，也不一定收敛。因此高次插值一般要慎用，实际上较多采用分段低次插值。 4.4.1 分段插值 分段线性插值 分段线性插值 分段线性插值 分段三次Hermite插值 上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。 分段三次Hermite插值 分段三次Hermite插值算法 例题 例题 4.4.2 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 例题 例4.4.1 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 求满足边界条件 解 做差商表,由于是等距离节点, 由第二类边界条件得 解方程得 将Mi代入式4.4.14)得 4．5 曲线拟和的最小二乘法 插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.同样也可以用级数的部分和作为函数的近似表达式.无论用那种近似表达式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近的讨论. 4.5.1 最佳平方逼近 定义4.5.1 设 称 为函数 在区间[a,b]上的内积. 其中 为区间[a,b]上的权函数,且满足下面两个条件: 内积的性质 函数的欧几里得范数 定义4.5.2 设 称 为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数. 函数的欧几里得范数性质 线性相关的函数系 定义4.5.3 设函数 ,如果存在一组不全为零的数 使 线性相关的函数系的判定 定理4.5.1 函数 在区间[a,b]上线性相关的充分必要条件是Gramer行列式 不难证明 在R上线性无关. 定理4.5.1的等价说法是:函数系 线性无关的充分必要条件是Gramer行列式 . 最佳平方逼近 定义4.5.4 设函数 及函数系 且线性无关. 记 为连续函数空C[a,b]的子空间,如果存在元素 满足 则称 为f(x)在 上的最佳平方逼近函数.且 其中 是法方程 唯一的一组解. 令 则误差为 特例 取 则法方程为 其中 例题 例4.5.1 设 求f(x)在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式. 解 设 由于 故法方程为 解得 平方误差为 4.5.2 对离散数据的曲线拟合最小二乘法 曲线拟合问题 对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题. 在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据: ,求曲线 与实验数据误差在某种度量意义下最小. 设 是[a,b]上一组线性无关的连续函数系,令 用向量内积形式表示,上式可记 上式为求 的法方程组,其矩阵的形式为 其中 故式(4.5.14)存在唯一解 ,于是得到函数f(x)的最小二乘解 其平方误差为 特例 例题 例4.5.2 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示 试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差. 解 由式(4.5.16)可得 解方程组得 所以拟合二次函数为 平