数值分析插值法.ppt

f[x0,x1,…,xk]=f[x1,…,xk-1,xk]-f[x0,x1,…,xk-1]xk-x02o由性质1o可得:f[x0,x1,…,xk]=f(n)(ξ)n!3o若f(x)在[a,b]上存在n阶导数,且节点x0,x1,…,xn[a,b],则n阶均差与导数关系如下:这个公式可直接用罗尔定理证明.所以第29页,共52页，星期六，2024年，5月12…………n?11+(x?x0)?2+……+(x?x0)…(x?xn?1)?n?1Nn(x)Rn(x)ai=f[x0,…,xi]二、牛顿插值公式第30页,共52页，星期六，2024年，5月Rn(x)Nn(x)ωn+1(x)多项式Nn(x)显然满足插值条件,即Nn(xj)=f(xj),(j=1,…,n),且次数不超过n,由唯一性定理它就是前述的Ln(x),其系数为Nn(x)称为牛顿均差插值多项式,它比拉格朗日插值多项式计算量省,且便于程序设计.第31页,共52页，星期六，2024年，5月注：?由唯一性可知Nn(x)?Ln(x)，只是算法不同，故其余项也相同，即?实际计算过程为f(x0)f(x1)f(x2)…f(xn?1)f(xn)f[x0,x1]f[x1,x2]…………f[xn?1,xn]f[x0,x1,x2]…………f[xn?2,xn?1,xn]f[x0,…,xn]f(xn+1)f[xn,xn+1]f[xn?1,xn,xn+1]f[x1,…,xn+1]f[x0,…,xn+1]均差计算可列均差表如下：第32页,共52页，星期六，2024年，5月例1依据如下函数值表建立不超过3次的拉格朗日插值多项式及牛顿插值多项式Nn(x),并验证插值多项式的唯一性.解:(1)拉格朗日插值多项式Ln(x).插值基函数xk0124f(xk)19233拉格朗日插值多项式为:第33页,共52页，星期六，2024年，5月xkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差0119822314343-10-8(2)牛顿插值多项式Nn(x).建立如下差商表牛顿插值多项式为:(3)唯一性验证.通过比较牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式,知:Nn(x)=Ln(x)这一事实与插值多项式的唯一性一致.第34页,共52页，星期六，2024年，5月2第35页,共52页，星期六，2024年，5月第36页,共52页，星期六，2024年，5月第37页,共52页，星期六，2024年，5月?等距节点插值公式向前差分iiifff-=?+1ikikikikffff1111)(-+--?-?=??=?向后差分111---?-?=?ikikikfffi?1iifff-=?中心差分其中当节点等距分布时:第38页,共52页，星期六，2024年，5月?差分的重要性质：?线性：例如?若f(x)是m次多项式，则是次多项式，而?差分值可由函数值算出：?=-+-=Dnjjknjknfjnf0)1(?=-+--=?njnjkjnknfjnf0)1(其中?函数值可由差分值算出：kjnjknfjnfD?=+=0?kkkhkfxxf!],...,[00D=knkknnnhkfxxxf!],...,,[1?=--kkkhff0)()(D=x由Rn表达式第39页,共52页，星期六，2024年，5月牛顿公式?牛顿前差公式?牛顿后差公式将节点顺序倒置：设，则)()()(000xfkthtxNxNknknn?=