数值分析--第2章插值法.ppt

数值分析 2.2 拉格朗日插值 由线性插值的误差即得分段线性插值在区间[xi, xi+1] 上的余项估计式为 因此,在插值区间[a,b]上有余项 2.6.2 分段抛物线插值 (2) 在每个子区间[xi-1, xi+1] 上，L(x)是次数不超过2的 多项式. 称满足上述条件的函数L(x)为分段抛物线插值函数. L(xi)=yi (i=0,1, ..., n); 对 求一个分段函数L(x), 使其满足: 即将区间[a, b]分为小区间[xi-1, xi+1] (i=1,2, …,n) 2.6.3 分段三次Hermite插值 已知 求一个分段函数H(x), 使其满足: (2) 在每个子区间[xi, xi+1] 上，H(x)是次数不超过3的 多项式. 称满足上述条件的函数H(x)为分段三次Hermite插值 函数. 或 [xi，xi+1]上 得在每个子区间 由 这一性质可以用数学归纳法证明，它表明均差与节点的排列次序无关，即 f[x0 , x1 , x2 , ..., xn]= f[x1 , x0 , x2 , ..., xn]=… = f[x1 , x2 , ..., xn , x0 ] 性质1 均差可以表示为函数值的线性组合，即 称之为均差的对称性（也称为对称性质）。 性质2 由性质1立刻得到 或 性质3 n次多项式f(x)的k阶差商,当k?n时是一个n-k次多项式;当kn时恒等于0. 性质4 若f(x)在[a,b]上存在n阶导数, 且节点x0 , x1 ,…, xn∈[a,b] ,则至少存在一点 ??[a, b] 满足下式 例1 f (x)=－6x8+7x5－10, 求f [1,2, …,9]及f [1,2, …,10]. 解 f (8)(x)=－6·8 !, f [1,2, …,9]=-6, f (9)(x)=0, f [1,2, …,10]=0. 2.3.2 牛顿插值多项式 设x是[a，b]上一点，由一阶均差定义得 同理，由二阶均差定义 如此继续下去，可得一系列等式 得 得 依次把后式代入前式，最后得 其中 可见, Nn(x)为次数不超过n 的多项式,且易知 Rn(xi)= 0 即 Nn(xi)= yi , (i=0,1, …,n) 满足插值条件, 故其为插值问题的解, Nn(x)称为牛顿插值多项式。 Rn(x)称为牛顿型插值余项。 由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式 是等价的,即 Ln(x) ?Nn(x) 且有如下递推形式 和余项公式 由此即得性质4。且 0.0344 四阶均差 0.1970 0.2137 三阶均差 0.2800 0.3588 0.4336 1.1160 1.1860 1.2757 1.3841 0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 二阶均差 一阶均差 f(xk) xk 例1 已知f(x)=shx的数表,求二次牛顿插值多项式,并由 此计算f(0.596)的近似值。 解 由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为 又 可得过前四点的三次牛顿插值多项式 故 可得N3(x)的截断误差 设函数y=f(x)在等距节点xi=x0+ih (i=0,1, …,n)上的函数值为fi=f(xi)(h为步长) 定义2 ? fi=fi+1-fi 和 ?fi=fi-fi-1 分别称为函数f(x)在点xi处的一阶向前差分和一阶向后差分。 一般地, f(x) 在点 xi 处的 m 阶向前差分和 m 阶向后差分分别为 ?mfi= ?m-1fi+1- ?m-1fi 和 ?mfi= ?m-1fi - ?m-1fi-1 2.4 差分与等距节点插值 2.4.1 差分及其性质 ... ... ?4f0 (?4f4) ... ?3f0 (?3f3) ?3f1 (?3f4) ... ?2f0 (?2f2) ?2f1 (?2f3) ?2f2 (?2f4) ... ?f0 (?f1) ?f1 (?f2) ?f2 (?f3) ?f3 (?f4) ... f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) f (x4) ... 四阶差分 三阶差分 二阶差分 一