数值分析--第章插值法-公开课件（讲义）.ppt

谢谢！ * 数值分析 * 由此还可以得到 故 在 上一致收敛到 . 在 上一致成立， * 数值分析 * 下图是用Matlab完成的分段线性插值（附程序）： * 数值分析 * 附：分段线性插值程序 n=11; m=61; x=-5:10/(m-1):5; y=1./(1+x.^2); z=0*x; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y1=interp1(x0, y0, x); plot(x, z, ’r’, x, y, ’k:’, x, y1, ’r’) gtext(‘Piece. –linear.’), gtext(‘y=1/(1+x^2)’) title(‘Piecewise Linear’) 注：interp1(x0,y0,x)为Matlab中现成的分段线性插值程序. * 数值分析 * 2.5.3 分段三次埃尔米特插值 分段线性插值函数 的导数是间断的，若在节点 上除已知函数值 外还给出导数值 就可以构造出一个导数连续的分段 插值函数 ，满足条件 在每个小区间 上是三次多项式. * 数值分析 * 上式对于 成立. 根据两点三次埃尔米特插值插值多项式（4.12）， 在区间 上的表达式为 (5.3) * 数值分析 * 定理3 设 为 在节点 上的分段三次埃尔米特插值多项式，则有 利用三次埃尔米特插值的余项（4.13），可得误差估计 于是有 其中 2.6 三次样条插值 * 数值分析 * 定义3 若函数 且在每个小区间 上是三次多项式，其中 是给定节点， 则称 是节点 上的三次样条函数. 2.6.1 三次样条函数 若在节点 上给定函数值 并成立 （6.1） 则称 为三次样条插值函数. * 数值分析 * 由于 在每个小区间 上有4个待定系数， 共有 个小区间，所以共有 个待定参数. 因为 在 上二阶导数连续，所以在节点 处应满足连续性条件 这些共有 个条件，再加上 本身还要满足的 个插值条件，共有 个条件，还需要2个才能确定 . （6.2） * 数值分析 * 通常可在区间 端点 上各加一个条件 1. 已知两端的一阶导数值，即 （6.3） （6.4）‘称为自然边界条件. 2. 已知两端的二阶导数，即 其特殊情况为 （6.4） （6.4）‘ 常见的边界条件有以下3种： （称为边界条件）， * 数值分析 * 此时插值条件（6.1）中 . 这样确定的样条函数 称为周期样条函数. 这时边界条件应满足 （6.5） 3. 当 是以 为周期的周期函数时，则要求 也是周期函数. （6.1） * 数值分析 * 2.6.2 样条插值函数的建立 下面利用 的二阶导数值 表示 . 由于 在区间 上是三次多项式，故 在 上是线性函数， （6.7） 对 积分两次并利用 及 ， 可表示为 可定出积分常数， 于是得三次样条表达式 * 数值分析 * 这里 ，是未知的. （6.8） * 数值分析 * 为了确定 ,对 求导得 （6.9） 由此可求得 * 数值分析 * 类似地可求出 在区间 上的表达式，从而得 利用 可得 （6.10） 其中 * 数值分析 * （6.11） 对第一种边界条件（6.3），可导出两个方程 （6.12） （6.3） * 数值分析 * 如果令 那么（6.10）及（6.12）可写成矩阵形式 （6.13） （6.10） （6.12） * 数值分析