数值分析第五插值法分析.ppt

* n=1 ?两个节点的三次Hermite插值多项式 * * ? 插值余项与误差估计 截断误差或插值余项 定理 若 则存在? ? (a, b), 使得 证明 故 其中 K (x)是与 x有关的待定函数. 如何求 K (x) ? * 现把 x看成是[a, b]上的固定点, 作辅助函数 即 F(t )在[a, b]上有 n+2 个零点. 根据Rolle定理, F ?(t )在 F(t )的两个零点之间至少有一个零点, 故 F ?(t )在(a, b)内至少有 (n+1)+(n+1)个零点. 对F ?(t )再应用Rolle 定理, 可知F ??(t )在(a, b)内至少有(2 n+1) 个零点. 依此类推, F(2n+2) (t )在(a, b)内至少有一个零点, 记之为??(a, b), 使得 则 * 因此 若 则 * ? 两个节点的三次Hermite插值多项式的截断误差 * 定理 满足 的 2n+1 阶Hermite插值多项式是唯一存在的. 因为H(x)为至多2n+1次多项式，故H(2n+2)(x)=0. 从而 ? Hermite插值多项式的唯一性 证明 假设 H(x)与 H(x) 是满足相同插值条件的 2n+1次Hermite多项式， H(x)也是 H(x) 的 (2n+1) 次Hermite插值多项式. 由余项公式 H(x)= H(x) * ? 分段三次Hermite插值定义 给定函数表 求分段三次Hermite插值函数H(x), 使其满足 (1) (2) 在每个小区间[xi, xi+1] ( i=0, 1,…, n－1)上，H(x)是三次多项式. * ? 分段三次Hermite插值函数H(x)的分段表达式 * ? 分段三次Hermite插值函数的误差估计 其中 ? 分段三次Hermite插值函数的导数在整个区间 [a, b]上是连续，但二阶导数在内节点处不连续. ? 为了使二阶导数也在内节点处连续, 可用三次样条插值函数. * ? Hermite插值的一般形式 求一至多 n+m+1 次的多项式 H(x), 使得 已知函数 f (x)在(n+1)个互异节点 处的函数值； 以及某些节点上的导数值 * ? 插值多项式H(x)存在唯一 ? 插值余项 ? 如何求？ ? 待定系数法 ? 求基函数方法 ? 利用Newton插值或Lagrange插值方法. * 例 按下表求 f (x)的三次Hermite插值多项式H(x), 并写出截断误差R (x)=f (x)－H(x)的表达式. 0 1 2 3 2 －1 1 解 设 则由已知条件得 故 * 例 求满足 H( xj )=f ( xj ) ( j=0,1,2 )及 H ?(x1)=f ?(x1)的插值多项式及其余项表达式. 其中A为待定常数, 解 设 由 * 余项表达式 * 解2 用插值基函数方法 * 上机作业 Page175 数值实验 第1题. * * ? 计算各阶差商可按差商表计算 1阶差商 2阶差商 3阶差商 4阶差商 计算公式？ * 线性插值多项式的另一表现形式 ? Newton线性插值多项式 Newton插值公式 * ? 二次Newton插值多项式 ? 把二次插值多项式改写成下列形式 ? 它与二次函数的通常形式 是一样的. 两者的系数有如下对应关系. * ? 利用3个插值条件来确定3个系数b0, b1, b2. ? 令x=x0确定系数b0 ? 令x=x1确定系数b1 ? 二次Newton插值多项式 ? 把二次插值多项式改写成下列形式 * ? 令x=x2得到系数b2 ? 二次Newton插值多项式 ? 把二次插值多项式改写成下列形式 * ? 二次Newton插值多项式 * ? n阶Newton插值多项式 * ? 由一阶差商定义得 ? 由二阶差商定义得 故 Newton线性插值多项式 余项 * 二次Newton插值多项式 余项 故 * 三次Newton插值多项式 余项 * 一般地有 n次Newton均差插值多项式 Nn(x) 余项 Rn(x) * ? Nn(x)的特点 Nn(x)为至多n次多项式, ? 因此Nn(x)是 f (x)的 n 次插值多项式. * ? n阶Newton插值多项式 ? 系数bi (i=0, 1, 2, …, n)就是差商表中对角线上的元素. * ? Newton插值多项式的优点: 增加一个节点, 插值多项式只增加一项, 即 便于递推计算, Newton插值计算量小于Lagrang