[2018年最新整理]2-2牛顿插值.ppt

第二章 代数插值与数值微分（二） 第二章 插值法 2.1 引言 2.2 拉格朗日插值 2.3 均差与牛顿插值公式 2.4 埃尔米特插值 2.5 分段低次插值 2.6 三次样条插值 牛顿插值公式 Lagrange插值的优缺点： 公式结构紧凑，在理论分析中方便，但如遇节点增减，所有数据需全部重算。 为改变这种状态，我们寻求如下形式的插值多项式： 其中的 为待定系数，由插值条件确定 2.3.1 差商 1. 一阶差商：f (x)关于点x0，x1的一阶差商记为 f [x0, x1]， 二阶差商： f (x)关于点x0，x1， x2的二阶差商记为 f [x0, x1, x2], 3. k 阶差商 一般地，k 阶差商 f [x0, x1,…, xk] 定义为： 4. 差商的计算 ★ 由差商的定义 一阶差商是由节点上函数值定义的，二阶差商是由一阶差商定义的，…，依此构造差商表： 例1 计算 (?2, 17), (0, 1), (1, 2), (2, 19)的一至三阶差商。 解 由表易知， f [x0, x1] = f [?2, 0] = ? 8 f [x0, x1, x2] = f [?2, 0, 1] =(?8 ?1)/(?2 ?1) = 3 f [x0, x1, x2, x3] = f [?2, 0, 1, 2] =(3 ?8)/(?2 ?2) = 5/4 2.3.2 Newton插值 1. 线性插值 给定两个插值点(x0, f(x0)), (x1, f(x1)), x0≠x1, 设 N1(x) = a0 + a1(x ? x0) ………… 直线的点斜式 代入插值点得， 于是得线性Newton插值公式 2. 二次Newton插值 给定三个互异插值点(xi, f (xi)), 设 代入插值条件： N2(xi) = f (xi), i =0,1,2, 得 二次Newton插值公式为 3. n 次Newton插值公式 给定n+1个插值点(xi, f(xi)), i = 0, 1, 2,…, n, xi互异， 类似地，有二阶至 n 阶差商的定义得 (x?x0)× (x?x0)(x?x1) × …… (x?x0)…(x?xn?1) 上述所有n +1个等式相加，得 其中， 插值误差为： 2.3.3 差商的性质 性质1 k 阶差商 f [x0, x1,…, xk]可表成节点上函数值 f(x0), f(x1), …, f(xk) 的线性组合，即 例如，k = 2时， 性质 2 各阶差商具有对称性, 即改变差商中节点的次序不会 改变差商的值。设i0, i1, …, ik为0, 1, …, k的任一排列, 则 由性质1知，任意改变节点的次序，只改变公式右端求和的次序，故其值不变。例如,由定义知， ★ 关于Lagrange插值和Newton插值的几点说明 由插值的唯一性质，Ln(x) = Nn(x)。因此，他们的误差也相同，即当 f(x)∈Cn+1[a, b]时，有 故得差商的性质 此外，比较Nn(x) 和Ln(x) 中xn的系数，即得性质1。 2 牛顿插值的误差不要求函数的高阶导数存在，所以更具有一般性。它对 f(x)是由离散点给出的函数情形或 f(x)的导数不存在的情形均适用。 3. 引入记号: f [x0] = f (x0) , t0(x) = 1, t1(x) = x ? x0, t2(x) = (x ? x0)(x ? x1), …, tn(x) = (x ? x0)(x ? x1) … (x ? xn?1)， 于是 n 次Newton插值公式可表为 例 3 给定四个插值点(?2,17), (0,1), (1,2), (2,19), 计算N2(0.9), N3(0.9)。 解 x0= ? 2，x1=0，x2=1，x3=2，由例1知， f [x0, x1] = ? 8， f [x0, x1, x2] = 3，f [x0, x1, x2, x3] = 5/4， 所以， N2(0.9) = 17 ? 8(0.9+2)+3(0.9+2)×0.9 = 1.63; N3(0.9) = N2(0.9)+1.