[2018年最新整理]2-1插值与拟合.ppt

插值与拟合 插值问题基本提法 g(t)=f(X+ te) = f(X)+2t(e, GT(GX–F))+ t2(e, GTGe) g’(0)=0 ? (e, GT(GX – F))=0 ? (e, GT(GX – F)) = 0 ? GT(GX – F) = 0 GTGX – GTF = 0 ? GTGX =GTF 设 X 是函数 f(X) 的极值点,任意 e∈R2 f (X + te)=(X+ te, GTG(X+te)) – 2(X+te, GTF ) 令 A = GTG, b = GTF ? AX =b 对称正定方程组 证明概要： * 构造一个(相对简单的)函数 通过全部节点, 即 再用 计算插值，即 ? ? ? ? ? ? 一维插值的定义 过两点直线方程 求满足: L(x0)=y0 , L(x1)=y1 的线性函数 L(x) 已知函数表 x x0 x1 f(x) y0 y1 拉格朗日插值公式 记 当 x0≤ x ≤x1 时 0≤l0(x)≤1, 0≤l1(x)≤1 x x0 x1 l0(x) 1 0 l1(x) 0 1 对称形式 二次插值问题 x x0 x1 x2 f(x) y0 y1 y2 已知函数表 求函数 L(x)=a0 + a1x + a2 x2 满足: L(x0)=y0 , L(x1)=y1, L(x2)=y2 L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2， 二次插值函数: L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2， x x0 x1 x2 l0(x) 1 0 0 l0(x) 1 0 0 l1(x) 0 1 0 l2(x) 0 0 1 L(x) y0 y1 y2 x x0 x1 x2 二次插值基函数图形 取 x0 =0, x1 = 0.5, x2 = 1 l0(x)=2(x – 0.5)(x – 1); l1(x)= – 4 x(x – 1); l2(x) = 2(x –0.5)x 称为拉格朗日插值基函数。 已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi, i=0,1,…,n. 解此问题的拉格朗日插值多项式公式如下 其中Li(x) 为n次多项式： 拉格朗日(Lagrange)插值 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形. 例 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形. 例 拉格朗日多项式插值的这种振荡现象叫 Runge现象(龙格) 分段线性插值 计算量与n无关; n越大，误差越小. ? ? ? ? ? ? xj xj-1 xj+1 x0 xn x o y 例 用分段线性插值法求插值,并观察插值误差. 1.在[-6,6]中平均选取5个点作插值(xch11) 4.在[-6,6]中平均选取41个点作插值(xch14) 2.在[-6,6]中平均选取11个点作插值(xch12) 3.在[-6,6]中平均选取21个点作插值(xch13) 三次样条插值简介 其中g(x)为被插值函数。 例 用三次样条插值选取11个基点计算插值(ych) 二维插值简介 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x y O 第一种（网格节点）： 第二种（散乱节点）： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y x 0 注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。 最邻近插值 x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y (x1, y1) (x1, y2) (x2, y1) (x2, y2) O 二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点的函数值