数值插值与拟合.doc

数值插值与拟合 课程名称： 科学计算选讲 学 院： 精仪学院 姓 名： 孙冰 学 号： 1014202035 一 引言 1、在我们生活中许多实际问题都是用函数y=f(x)来表示某种内在规律的关心，其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的。虽然f(x)在某个区间[a,b]上存在的，有的还是连续的，但却只能给出[a,b]上一系列点xi的函数值yi=f(xi)（i=0,1,…,n），这只是一张函数表，为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值，因此我们希望根据给定的函数表构造一个既能反映函数f(x)的特性、又便于计算的简单函数P(x)，用P(x)近似f(x)。通常选一类较简单的函数如代数多项式或分段函数代数多项式作为P(x)并使P(xi)=f(xi)对于i=0,1…，n成立,这样确定的P(x)就是我们希望得到的插值函数。 插值法是一种古老的数学方法，它来自于生产实践，早在一千多年前我国科学家在研究历法中就应用里线性插值与二次插值，但它的基本理论和结果却是在微积分产生以后逐步完善的，其应用也日益增多。特别是在电子计算机广泛使用以后，由于航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要，插值法在实践上和理论上显得更为重要。 例如：在现代机械工业中用计算机程序控制加工机械零件，根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点(xi,yi)(i=0,1,…,n)，加工时为控制每步走刀方向及步数，就要算出零件外形曲线其他点的函数值，才能加工出外表光滑的零件，这就是求插值函数的问题。 2、在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据(xi,yi) (i=0,1,…,n)中寻找自变量x与因变量y之间的函数关系y=F(x)。由于观测数据数据往往不准确，因此不要求y=F(x)经过所有点(xi,yi),而只要求在给定点xi上的误插i=F(xi)—yi (i=0,1…,m) 按某种标准最小。求拟合曲线时首先要确定F(x)的形式，这不是单纯的数学问题，还与所研究的问题的运动规律及所得观测数据(xi,yi)有关，通常要从问题的运动规律及给定数据描述图来确定F(xi)的形式，并通过实际计算选出较好的结果。如果待定函数是线性的就叫做线性拟合或线性回归，否则叫做非线性拟合或非线性回归，表达式也可以是分段函数这种情况下叫做样条拟合。 ?本文主要就插值与拟合的常用方法进行简要的分析与程序实验及 实际例题分析。 设函数y=f(x)定义在区间[a, b]上, X0 X1 …Xn是[a, b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值为已知 f(x0) f(x1) …f(xn) , 即 yi=f(xi) 若存在一个f(x)的近似函数 满足 （2.1） 则称 为f(x)的一个插值函数, f(x)为被插函数, 点xi为插值节点, 称(2.1)式为插值条件, 而误差函数R(x)= 称为插值余项, 区间[a, b]称为插值区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插 插值函数 在n+1个互异插值节点 xi (i=0,1,…,n )处与f(xi)相等,在其它点x就用 的值作为f(x) 的近似值。这一过程称为插值，点x称为插值点。换句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。用 的值作为f(x)的近似值。 2.常见插值法与拟合曲线 1代数插值法，2 Lagrange插值，3逐次线性插值，4 Newon插值， 5等距节点插值，6 Hermite, 7 分段低次插值，8三次样条插值，9多元函数插值，10切比雪夫多项式零点插值 11三角插值。 1直线 2 多项式 一般n=2,3 不宜过高 3双曲线 (一支) 4指数曲线 3.插值与拟合公式描述 1）代数插值法 设 若满足P(xi)=f(xi) ai R (i=0,1,…n) 则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。 由插值条件P(xi)=f(xi) (i=0,1,…n)知 因为 称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj（当i≠j），故V≠0。根据解线性方程组的克莱姆（Gramer）法则，方程组的解存在惟一，从而P(x)被惟一确定。 2.Lagrange插值法 两个插值点可求出一次插值多项式,而三个插值点可求出二次插值多项式。插值点增加到n+1个时,也就是通过n+1个不同