数值计算3-插值和曲线拟合..doc

数值计算3－插值和曲线拟合 插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。在生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y = f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。 如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ(x)，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值。用简单函数y=φ(x)在点x处的值来估计未知函数y=f(x)在x点的值。寻找这样的函数φ(x)，办法是很多的。φ(x)可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也可以是有理分式；φ(x)可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分段函数。函数类的不同，自然地有不同的逼近效果。在许多应用中，通常要用一个解析函数（一、二元函数）来描述观测数据。 根据测量数据的类型： 1．测量值是准确的，没有误差。 2．测量值与真实值有误差。 这时对应地有两种处理观测数据方法： 1．插值或曲线拟合。 2．回归分析（假定数据测量是精确时，一般用插值法，否则用曲线拟合）。 MATLAB中提供了众多的数据处理命令。有插值命令，有拟合命令，有查表命令。 一维插值 　插值定义为对数据点之间函数的估值方法，这些数据点是由某些集合给定。当人们不能很快地求出所需中间点的函数值时，插值是一个有价值的工具。例如，当数据点是某些实验测量的结果或是过长的计算过程时，就有这种情况。 interp1(x,y,xi,method) x和y为既有数据的向量，其长度必须相同。 xi为要插值的数据点向量。 method插值方法,‘nearest’/‘linear’/‘cubic’/‘spline’之一， 分别为最近点插值/线性插值/分段三次Hermite插值/三次样条插值。 例 x=[1.0 2.0 3.0 4.0 5.0]; %输入变量数据x y=[11.2 16.5 20.4 26.3 30.5]; %输入变量数据y x1=2.55; %输入待插值点x y11=interp1(x,y,x1,nearest) %最近点插值方法的插值结果 y12=interp1(x,y,x1,linear) %线性插值方法的插值结果 y13=interp1(x,y,x1,cubic) %三次Hermite插值方法的插值结果 y14=interp1(x,y,x1,spline) %样条插值方法的插值结果 y11 = 20.4000 y12 = 18.6450 y13 = 18.6028 y14 = 18.4874 plot(x,y) 或许最简单插值的例子是MATLAB的作图。按缺省，MATLAB用直线连接所用的数据点以作图。这个线性插值猜测中间值落在数据点之间的直线上。当然，当数据点个数的增加和它们之间距离的减小时，线性插值就更精确。例如： x1=linspace(0, 2*pi, 60); x2=linspace(0, 2*pi, 6); plot(x1, sin(x1), x2, sin(x2), - ) xlabel( x ), ylabel( sin(x) ), title( Linear Interpolation ) 　上图是sin函数的两个图，一个在数据点之间用60个点，它比另一个只用6个点更光滑和更精确。 根据所作的假设，有多种插值。而且，可以在一维以上空间中进行插值。即如果有反映两个变量函数的插值，z=f(x, y)，那么就可在x之间和在y之间，找出z的中间值进行插值。MATLAB在一维函数interp1和在二维函数interp2中，提供了许多的插值选择。其中的每个函数将在下面阐述。 为了说明一维插值，考虑下列问题，12小时内，一小时测量一次室外温度。数据存储在两个MATLAB变量中。 hours=1:12; % index for hour data was recorded temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; % recorded temperatures plot(hours, temps, hours, temps, + ) % view temperatures title( Temperat