样条插值和曲线拟合.doc

样条插值和曲线拟合 1．有如下的函数表 x 0 1 4 9 16 y 0 1 2 3 4 试用一次、二次、三次、四次多项式插值函数求，看哪一个最接近。 解 先作差商表  故： 已知，因此选定最接近。 利用Neville方法得: xi 8-xi f(xi) 2.8284271 0 8 0 8 1 7 1 -1 3.3333333 2.4 4 4 2 2.866666667 2.6222222 2.8 2.8444444 9 -1 3 2.819047619 2.8571429 16 -8 4 f(8)= 2.828427125 xi 8-xi f(xi) 0 8 0 8 1 7 1 -1 1/3 3 1/3 2 2/5 4 4 2 2 13/15 2 28/45 2 4/5 2 38/45 9 -1 3 2 86/105 2 6/7 16 -8 4 已知，故选定=2.819047619最接近. 2．，作4次多项式的等距插值，求，并比较与的差别，如果用分段插值，那么结果将如何？ 解：（1）先作差商表 所以：，故：。 （2）若采用分段插值，则在上，，所以： ，结果一样。 3．解 （1）若记L(x)为在上的分段线性插值函数，则 其中，欲使，故 （2）如果采用分段二次插值，若为在上的分段二次插值函数，则 其中，欲使，应使： 4．对在中用等距分段Hermite 3次插值，其余项是什么？ 解：若对在中用等距分段Hermite 3次插值，则在每个小区间上，由第二章定理8知： 由于，所以在上， 注意右端与无关，故在上，有：。 5．对函数，在区间上用等距线性插值、等距Hermite 3次插值、等距样条插值，问步长应取多少才能保证各自的截断误差小于？ 解：因为，所以 ，因此。 若在区间上用等距线性插值，则误差为： 欲使，只须。 若在区间上用等距Hermite 3次插值，则误差为： 欲使，只须 若在区间上用等距样条插值，则由定理5，有： 欲使，只须。 6. 对sinx/x, 在[0，1]上取5个节点，求D13次样条。 解 因，所以：，, 先作差商表 0 1 0 -0.16615 0 1 -0.04154 -0.16304 0.25 0.989616 -0.12306 -0.15388 0.5 0.958851 -0.2 -0.13905 0.75 0.908852 -0.26952 -0.12658 1 0.841471 -0.30117 1 0.841471 从而形成三弯距方程组的增广矩阵： 2 1 0 0 0 -0.99688 0.5 2 0.5 0 0 -0.97827 0 0.5 2 0.5 0 -0.92326 0 0 0.5 2 0.5 -0.8343 0 0 0 1 2 -0.7595 解得：M1=-0.33438，M2=-0.32813，M3=-0.30966，M4=-0.27977，M5=-0.23987。样条曲线为： 7. 对f(x)=|x|，在[-1，1]上取5个等距节点，求3次自然样条插值。 解 先作差商表 -1 1 -1 0 -0.5 0.5 -1 2 0 0 1 0 0.5 0.5 1 1 1 从而形成三弯距方程组的增广矩阵： 2 0.5 0 0 0.5 2 0.5 12 0 0.5 2 0 解得：M1=-0（已知），M2= -1.71429=-12/7，M3= 6.857143=48/7，M4= -1.71429=-12/7，M5=-0（已知）。样条曲线为： 8. 对f(x)=|x|，在[-1，1]上取6个等距节点，求3次周期样条插值函数。 解 先作差商表 -1 1 -1 0 -0.6 0.6 -1 1.25 -0.2 0.2 0 1.25 0.2 0.2 1 0 0.6 0.6 1 -2.5 1 1 -1 1.4 0.6 注意：，，从而形成三弯距方程组的增广矩阵： 2 0.5 0 0 0.5 0 0.5 2 0.5 0 0 7.5 0 0.5 2 0.5 0 7.5 0 0 0.5 2 0.5 0 0.5 0 0 0.5 2 -15 解得：M1=M6= -8.18182，M2= 1.363636，M3= 2.727273，M4= 2.7272