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插值 插值问题基本提法 练习2 在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。 * 电子科技大学 [1]一维插值 [2]二维插值 [3]练习题 拉格朗日插值 分段线性插值 三次样条插值 一 维 插 值 一、插值的定义 二、插值的方法 三、用Matlab解插值问题 构造一个(相对简单的)函数 通过全部节点, 即 再用 计算插值，即 ? ? ? ? ? ? 一维插值的定义 称为拉格朗日插值基函数。 已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi, i=0,1,…,n. 解此问题的拉格朗日插值多项式公式如下 其中Li(x) 为n次多项式： 拉格朗日(Lagrange)插值 拉格朗日(Lagrange)插值 特别地: 两点一次(线性)插值多项式: 三点二次(抛物)插值多项式: 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形. 例 拉格朗日多项式插值的 这种振荡现象叫 Runge现象(龙格) 分段线性插值 计算量与n无关; n越大，误差越小. ? ? ? ? ? ? xj xj-1 xj+1 x0 xn x o y 例 用分段线性插值法求插值,并观察插值误差. 1.在[-6,6]中平均选取5个点作插值 4.在[-6,6]中平均选取41个点作插值 2.在[-6,6]中平均选取11个点作插值 3.在[-6,6]中平均选取21个点作插值 比分段线性插值更光滑。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x y xi-1 xi a b 在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。 三次样条插值 三次样条插值 其中g(x)为被插值函数。 例 用三次样条插值选取11个基点计算插值(ych) 用MATLAB作插值计算 一维插值函数： yi=interp1(x，y，xi，method) 插值方法 被插值点 插值节点 xi处的插值结果 ‘nearest’ ：最邻近插值 ‘linear’ ： 线性插值； ‘spline’ ： 三次样条插值； ‘cubic’ ： 立方插值。 缺省时： 分段线性插值。 注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。 例1：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。 hours=1:12; temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; h=1:0.1:12; t=interp1(hours,temps,h,spline); % (直接输出数据将是很多的) plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作图 xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius) ? ? ? ? ? ? ? ? ? x y 机翼下轮廓线 例2 已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。 二维插值 一、二维插值定义 二、网格节点插值法 三、用Matlab解插值问题 最邻近插值 分片线性插值 双线性插值 网格节点数据的插值 散点数据的插值 二维插值的定义 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x y O 第一种（网格节点）： 已知 m?n个节点 其中 互不相同，不妨设 构造一个二元函数 通过全部已知节点,即 再用 计算插值，即 第二种（散乱节点）： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y x 0 已知n个节点 其中 互不相同， 构造一个二元函数 通过全部已知节点,即 再用 计算插值，即 注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。 最邻近插值 x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y (x1, y1) (x1, y2) (x2, y1) (x2, y2) O 二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的 节点的函数值即为所求。 将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为