最新数值计算第二章-插值法.ppt

等距节点情况下xi= x0+ih ，用差分表示差商： = y1 – y0 h = ?y0 1!h f[x1 , x2]= y2 – y1 h = ?y1 1!h f[x0,x1,x2]= f[x1,x2]- f[x0,x1] x2 – x0 = ?y1 1!h – ?y0 1!h 2h = ?y1-?y0 2h2 = ?2y0 2!h2 f[x1,x2,x3]= f[x3,x2]- f[x2,x1] x3 – x1 = ?y2 1!h – ?y1 1!h 2h = ?y2-?y1 2!h2 = ?2y1 2!h2 f[x0,x1,x2 ,x3]= ?2y1 2!h2 – ?2y0 2!h2 3h = ?2y1 - ?2y0 2*3h3 = ?3y0 3!h3 ?ny0 n!hn 例2.16 计算 f (x) = x3在等距节点0，1，2，3, 4上的各 阶差分值 x y ?y ?2y ?3y 0 0 1 1 2 8 3 27 4 64 ?4y 1 7 19 37 6 12 18 6 6 0 牛顿前插公式 取间距为h, 等距节点 x0 x1… xn 顺序建立牛顿差商公式 f[x0 , x1]= ?y0 1!h f[x0,x1,x2]= ?2y0 2!h2 f[x0,x1,x2 ,x3]= ?3y0 3!h3 Nn(x) =y0 +(x-x0) ?y0 1!h +(x-x0)(x-x1) ?2y0 2!h2 +…+ (x-x0)(x-x1)… (x-xn-1) ?ny0 n!hn 牛顿前插公式 Nn(x) Rn(x) 因 ,设 ,则 x y ?y ?2y ?3y ?4y x0 y0 x1 y1 ?y0 x2 y2 ?y1 ?2y0 x3 y3 ?y2 ?2y1 ?3y0 x4 y4 ?y3 ?2y2 ?3y1 ?4y0 向后差分 函数y=f(x), 若记y-1=f(x0-h), y-2=f(x0-2h),… 则各阶向后差分 一阶 ? y0= y0- y-1， ? y1= y1- y0， ? y2= y2- y1， … 二阶 ?2y0= ?y0- ?y-1= y0- y-1- (y-1- y-2 )= y0- 2y-1+ y-2 ?2y1= ?y1-?y0 = y1- y0- (y0- y-1 ) = y1- 2y0+ y-1 … K阶 ?ky0= ?k-1y0- ?k-1y-1 ?ky1= ?k-1y1-?k-1y0 同样利用向后差分可以得到牛顿向后插值公式 其中 ,公式 称之为牛顿向后插值公式余项。 x -1 0 1 2 y -1 1 3 11 解：建立差分表 x y ?y ?2y ?3y -1 -1 0 1 2 1 3 2 0 2 11 8 6 6 = -1+1+0+0.375 = 0.375 例5.16 按下列数值表用牛顿前插公式求y(-0.5) 的近似值 N3(x) 例5.17 估计用线性插值法计算lg47时的误差限 取x0=45, x1=48, =1.671898401 解：应用n=1的拉格朗日插值公式 x 42 45 48 lgx 1.6232493 1.6532126 1.6812413 ( ? ? [ 45, 48 ] ) 误差限 插值公式的唯一性及其应用 插值公式的唯一性 若插值节点相同，则插值公式是唯一的。 Pn(x)与Qn(x)有相同的插值节点， 令Rn(x)= Pn(x)- Qn(x) 对于x=x0, x1,…xn, Rn(xi)= Pn(xi)- Qn(xi)=0 §4 分段线性插值 2.4.1 高次插值的龙格现象 插值多项式余项公式说明插值节点越多，一般说 来误差越小，函数逼近越好，但这也不是绝对的， 因为余项的大小既与插值节点的个数有关，也与函 数f(x)的高阶导数有关。换句话说，适当地提高插 值多项式的次数，有可能提高计算结果的准确程度 ，但并非插值多项式的次数越高越好。当插值节点 增多时，不能保证非节点处的插值精度得到改善， 有时反而误差更大。考察函数 考察函数 右图给出了 和 的图像,当n 增大时, 在两端 会发出激烈的振荡 ,这就是所谓龙格现 象。该现象表明,在 大范围内使用高次 插值,逼近的效果往 往是不理想的 另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播 也较为严重，在一个节点上产生的舍入误差会在计 算中不断扩大，并传播到