数值分析第二章插值.ppt

分别补充为方程组（6）的第一个和最后一个方程组，得D1-样条的三弯矩方程为：第89页,共99页，星期六，2024年，5月（2）D2-样条：给定边界条件（6）中第一个方程变为：（6）中最后一个方程变为：第90页,共99页，星期六，2024年，5月得三弯矩方程若取M0=Mn=0，称为三次自然样条，三弯矩方程为第91页,共99页，星期六，2024年，5月（3）周期样条：给定条件:，得由整理得第92页,共99页，星期六，2024年，5月整理得令则第93页,共99页，星期六，2024年，5月补充（6）中的最后及第一个方程，可得周期样条的三弯矩方程：上述第一个方程化为所以周期样条三弯矩方程为第94页,共99页，星期六，2024年，5月5、三次样条插值的计算步骤(1)根据已知条件顺次计算方程组系数，求出三次样条插值的三弯矩方程组；(2)由给定边界条件，确定；(3)求解对应边界条件下的三弯矩方程组，求出；(4)将求出的代入(2)式，求出上的三次样条插值函数对给定的点，须首先确定所在的子区间，然后按三次样条插值的计算步骤计算，进而求出第95页,共99页，星期六，2024年，5月6.三次样条插值函数的收敛性定义2.6设是区间上的连续函数，记为函数的范数。定理2.3设被插值函数为满足边界条件的3次样条插值函数，则在插值区间上成立余项估计式其中,第96页,共99页，星期六，2024年，5月第97页,共99页，星期六，2024年，5月其次求:第98页,共99页，星期六，2024年，5月重节点差商可列表计算：重节点差商的计算第57页,共99页，星期六，2024年，5月其中，第58页,共99页，星期六，2024年，5月第59页,共99页，星期六，2024年，5月例1：已知求三次多项式P(x)满足4.举例第60页,共99页，星期六，2024年，5月解：第61页,共99页，星期六，2024年，5月例2：已知求三次多项式P(x)满足注意:第62页,共99页，星期六，2024年，5月解：第63页,共99页，星期六，2024年，5月1.多项式插值的龙格现象例：在[?5,5]上考察的Ln(x)。取-5-4-3-2-1012345-0.500.511.522.5Ln(x)?f(x)?n越大，端点附近抖动越大，称为Runge现象§4分段低次插值第64页,共99页，星期六，2024年，5月2.分段线性插值在每个子区间上，用1次多项式(直线)逼近f(x):记,易证：当时，一致yxoy=p(x)y=f(x)失去了原函数的光滑性。第65页,共99页，星期六，2024年，5月则是分段一次的连续函数且满足条件分段线性插值多项式的构造：即为分段线性插值的基函数。第66页,共99页，星期六，2024年，5月基函数只在附近不为零,在其它地方均为零。这种性质称为局部非零性质。相应的分段线性插值函数为：分段线性插值的误差估计：如果在上二阶连续可微,则分段线性插值函数的余项有以下估计其中,第67页,共99页，星期六，2024年，5月3.分段三次Hermite插值其中基函数为给定节点，在节点上的函数值及导数值分别为,在每个子区间上作两点三次Hermite插值，因此是分段三次，总体是直至