数值分析第二章学习小结-.doc

第2章 插值法 --------学习小结 姓名 班级 学号 本章学习体会 1.我的感受：在学习本章之前，我在很多地方都见到过涉及到插值法的问题，比如中学时见到的类似于“给定两组数据，求目标函数”，生活中的“由坐火车的某两站到站时间估计火车到其他站的时间”。而经过了《数值分析》第二章“插值法”的学习，我知道了简单估计与科学插值之间的关系以及拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、三次样条插值、埃尔米特插值这些经典的插值方法，我知道了插值法是非常系统、科学的数学估计方法与工科领域的优化方法。 2.我的困惑：经过了这一章插值法的学习，我知道了拉格朗日插值、牛顿插值等等优秀的插值方法，但是针对不同的问题，我们应该如何选择最适合的插值方法呢？或者说在不同类型的题目中各种插值法的优势是什么？（困惑解答在小结思考题处） 本章知识梳理 （一）、插值问题 1.插值目的：设y=f（x）为定义在[a,b]上的实值函数，已知f（x）在该 区间中n+1个互不相同的点处的值是 估计f（x）在[a,b]中某点处的值。 2.插值做法：选定一个逼近函数类在中求出满足条件的函数p（x），并以作为的估值 2. 拉格朗日插值多项式： 3.插值节点的选取原则： 居中原则 4.特点：直观对称，易建立插值多项式，无继承性。 （三）、牛顿插值 1.插商（均差）：（导数的离散形式）设有函数f (x)以及自变量的一系列互不相等的 （即在时，）的值f(xi)，称为f (x)在点xi , xj处的一阶差商，并记作f [xi , xj]。 2.牛顿插值多项式： 3.插值余项： 4.特点：1、在节点增加时有递推性. 2、牛顿余项更具有一般性。当f（x）的高阶导数不存在时，仍然适用。 (四)、埃尔米特插值 设在节点a≤X0＜X1＜. . .＜Xn≤b上 要求插值多项式 H（x），满足条件： （1） （2） (五)、分段低次插值 设 是区间[a, b]上的函数，给定节点 及其函数值为 构造插值函数 使其满足条件： （1）I(Xi)=f(Xi) i=0,1,2. . . ,n (2) (3)在每个[Xi,Xi+1]上，I(x)是线性函数； 则称I(x)为f(x) 分段线性插值函数，其几何意义就是将插值点用折线段连接起来逼近f（x） (六)、三次样条插值 被插函数f(x)是以 周期的周期函数，S(x)称为周期样条函数。 本章思考题 思考题：在不同类型的题目中各种插值法的优势劣势分别是什么？ 思考： 1.拉格朗日插值： 优点：公式结构整齐紧凑，理论分析方便简单； 缺点：随着插值点的变化计算量成倍增加，计算变得十分繁琐，插值点较多时误差大数值不稳定。插值多项式不能全面反映被插值函数的性质，不能满足插值多项式与被插值函数在部分或全部插值节点上的导数值与高阶导数值相等。 2.牛顿插值： 优点：公式结构整齐紧凑，理论分析方便简单并且随着插值点的变化计算仍相对比较简单； 缺点：插值多项式不能全面反映被插值函数的性质，不能满足插值多项式与被插值函数在部分或全部插值节点上的导数值与高阶导数值相等。 3.埃尔米特插值 优点：插值函数与被插值函数贴合程度高，在插值节点上其二者导数值相同； 缺点：被插值函数在插值节点的导数值在实例中不易知。 4.分段线性插值 优点：计算简洁方便，舍入误差较小，数据稳定性好，易编程 缺点：在插值节点处不光滑，不满足插值节点处插值函数导数连续。 5.三次样条插值 优点：在插值节点处光滑，低次插值收敛性好 缺点：不适用于高阶插值。 本章测验题 测试题：已知用线性插值计算f(4)=2,f(9)=3，用线性插值计算f(6)并估计误差． 考察知识点：①拉格朗日插值基函数的定义； ②拉格朗日插值多项式的定义； ③插值余项与误差估计。 解：