2-数值分析-第二章摘要.pptx

插值法 § 1引言 问题的提出 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi) 或者给出函数表 y=f(x) y=p(x) x x0 x1 x2 …… xn y y0 y1 y2 …… yn 第二章 插值法 插值法的基本原理 设函数y=f(x)定义在区间[a, b]上, 是 [a, b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值 为已知 ,即 若存在一个f(x)的近似函数 ,满足 则称 为f(x)的一个插值函数, f(x)为被插函数, 点 xi为插值节点, 称(2.1)式为插值条件, 而误差函数 R(x)= 称为插值余项, 区间[a, b]称为插值 区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插 (2.1) 插值函数 在n+1个互异插值节点 (i=0,1,…,n ) 处与 相等,在其它点x就用 的值作为f(x) 的近似值。这一过程称为插值，点x称为插值点。换 句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。用 的值作为f(x)的近似值,不仅希 望 能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单 。由于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点。所以本章主要介绍代数插值。即求一个次数不超过n次的多项式。 满足 则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。 该插值法又称为代数插值法。其几何意义如下图所示： 定理1 n次代数插值问题的解是存在且惟一的 证明: 设n次多项式 是函数 在区间[a, b]上的n+1个互异的节点 (i=0,1,2,…,n )上的插值多项式,则求插值多项式P(x) 的问题就归结为求它的系数 (i=0,1,2,…,n )。 由插值条件: (i=0,1,2,…,n),可得 这是一个关于待定参数 的n+1阶线性方 程组,其系数矩阵行列式为 称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj （当i≠j），故V≠0。根据解线性方程组的克莱姆 （Gramer）法则，方程组的解 存在惟一，从而P(x)被惟一确定。 §2 拉格朗日（Lagrange）插值 为了构造满足插值条件 (i=0,1,2,…,n ) 的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形, 然后再推广到一般形式。（线性插值与抛物插值） （1）线性插值(n=1) 线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数 f(x)在两个互异的点的值， ,现要求用线性函数 近似地代替f(x)。选 择参数a和b, 使 。称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数 。 线性插值的几何意义:用 通过点 和 的直线近似地代替曲线 y=f(x)。 为了便于推广，记 一次函数, 且有性质 由解析几何知道,直线表示为： 点斜式 两点式 与 称为线性插值基函数。且有 线性插值函数可表示为与基函数的线性组合 例2.1 已知 , ,求 解: 这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用线性插值 秦九韶算法： p(x)=a0? a1x1 ? … ? an-1xn-1 ? an xn 计算多项式 p(x) 的导数 p’(x)。 §回顾 迭代法： 假设a0，求方程 的解 得出迭代公式： 割圆术与π的求解 圆的半径为r, 假定正n边形的边长为ln, 则正2n边形的边长为l2n. 满足如下的关系： 圆面积近似为正2n边形的总面积 y=f(x) y=p(x) x x0 x1 x2 … xn y y0 y1 y2 … yn 插值法 则称p(x)为f(x)的一个插值函数, f(x)为被插函数, 点xi为插值节点, 称p(xi)= f(xi)为插值条件, 而误差函数R(x)=f(x)-p(x)称为插值余项, 区间[a, b]称为插值区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插。 插值特殊形式： 线性插值与抛物线插值 （1）线性插值(n=1) 插值基函数: 一般形式: 插值基函数: 例 已知y=f(x)的函数表 求线性插值多项式, 并计算x=1.5 的值 x 1 3