清华第五版数值分析第二章课件..ppt

问题 1.多项式是否存在？ 2.若存在，是否唯一？ 3.误差是多少？ 4.若存在唯一，如何构造？ 2.2 拉格朗日插值 可见, Nn(x)为次数不超过n 的多项式,且易知 Rn(xi)= 0即 Nn(xi)= yi , (i=0,1, …,n) 满足插值条件, 故其为插值问题的解, Nn(x)称为牛顿插值多项式。Rn(x)称为牛顿型插值余项。 由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式 是等价的,即Ln(x) ?Nn(x) 且有如下递推形式 和余项公式 由此即得性质3。 0.0344 四阶均差 0.1970 0.2137 三阶均差 0.2800 0.3588 0.4336 1.1160 1.1860 1.2757 1.3841 0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 二阶均差 一阶均差 f(xk) xk 例1 已知f(x)=shx的数表,求二次牛顿插值多项式,并由此计算f(0.596)的近似值。 解 由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为 又 可得过前四点的三次牛顿插值多项式 故 可得N3(x)的截断误差设函数y=f(x)在等距节点xi=x0+ih (i=0,1, …,n)上的函数值为fi=f(xi)(h为步长) 定义2fi=fi+1-fi和fi=fi-fi-1 分别称为函数f(x)在点xi处的一阶向前差分和一阶向后差分。一般地, f(x) 在点 xi 处的 m 阶向前差分和 m 阶向后差分分别为 ?mfi= ?m-1fi+1- ?m-1fi和mfi= ?m-1fi - ?m-1fi-1 2.4 差分与等距节点插值 2.4.1 差分及其性质 ... ...4f0 (?4f4) ...3f0 (?3f3) ?3f1 (?3f4) ...2f0 (?2f2) ?2f1 (?2f3) ?2f2 (?2f4) ... ?f0 (?f1) ?f1 (?f2) ?f2 (?f3) ?f3 (?f4) ... f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) f (x4) ... 四阶差分 三阶差分 二阶差分 一阶差分 函数值 构造差分表5-2 容易证明，差分有如下基本性质 性质1 各阶差分均可用函数值表示. 即 且有等式nfi= ?nfi+n . 性质3 均差与差分的关系式为 性质2 函数值均可用各阶差分表示. 即 (可由数学归纳法证明) 且有差分与微商的关系式为 代入牛顿插值公式 ,可得 称为牛顿向前插值公式，其余项为 插值节点为 xi=x0+ih (i=0,1, … ,n), 如果要计算 x0附近点 x 处的函数值f(x), 可令 x=x0+th (0? t? n) 2.4.2 等距节点差值公式类似地, 若计算 xn 附近的函数值 f(x), 可令 x=xn+th (- n ? t? 0) ，可得牛顿向后插值公式 及其余项 例2 设 y=f(x)=ex, xi=1, 1.5, 2, 2.5, 3, 用三次插值多项式求f(1.2) 及f(2.8)的近似值. 解 相应的函数值及差分表如下: 1 1.5 2 2.5 3 xi0.481460.74210 1.223561.14396 1.88606 3.109621.76341 2.90347 4.79343 7.90305 2.71828 4.48169 7.28906 12.18249 20.08554 四阶差分 三阶差分 二阶差分 一阶差分 f (xi) 求f(1.2)用牛顿前插公式, 且由 1.2=1+0.5t, 得t=0.4 1 1.5 2 2.5 3 xi0.481460.74210 1.223561.14396 1.88606 3.109621.76341 2.90347 4.79343 7.90305 2.71828 4.48169 7.28906 12.18249 20.08554 四阶差分 三阶差分 二阶差分 一阶差分 f (xi) 求f(2.8)用牛顿后插公式,且由 2.8=3+0.5t, 得t= -0.4 1 1.5 2 2.5 3 xi0.481460.74210 1.223561.14396 1.88606 3.109621.76341 2.90347 4.79343 7.90305 2.71828 4.48169 7.28906 12.18249 20.08554 四阶差分