清华第五版数值分析第5章课件.ppt

;引言;线性方程组的概念（续） ;线性方程组的数值解法;思路;二 高斯消去法步骤如下：;第二步：;重复上述过程, 最后得; ;;定理：若A的各阶顺序主子式不等于0，则高斯消去法能顺序进行消元，得到唯一解。;高斯消去法存在的问题：;Gauss 消元法的优缺点：;引入主元素的必要性 如下例： ;例2（续1）; 若在解方程组前，先交换方程的次序，如将（3-1）交换一行与二行改写成如下所示：;例2两种解法的误差分析;具体步骤为：;以第二步为例:; 如此至多经过n-1步,就得到与之同解的上三角形方 程组的增广矩阵,再用回代过程即可得方程组的解.;高斯列主元消去法的适用范围;第一行乘 –m21;记 L1 = En····E3E2 ;A(2);Lk A(k)=A(k+1), Lkb(k)=b(k+1);A(n);注： （1） L 为单位下三角阵而 U 为一般上三角阵的分解称为Doolittle 分解 （2）L 为一般下三角阵而 U 为单位上三角阵的分解称为Crout 分解。 基于这些想法我们得到下面的三角分解解线性方程组的方法 ;5.2 矩阵的三角分解法;一 矩阵的三角分解;适用范围：系数矩阵A相同，不同的右端向量多 如求 即求方程 的解， 下面看什么情况下，可对系数矩阵做三角分解。 ;三角分解的存在唯一性定理;;;直接计算 A 的 LU 分解(例) （续）;3);; a11 a12 a13 … a1n u11 u12 u13 … u1n a21 a22 a23 … a2n l21 u22 u23 … u2n a31 a32 a33 … a3n l31 l32 u33 … u3n an1 an2 an3 … ann ln1 ln2 ln3 … unn;三角分解的紧凑格式;（1）计算顺序：将aij ，uij ，lij 按表3-1列好，计算 时按框从外到内进行， 每一框中先算行。从 左向右依次计算 uij ；再算列，自上而下求 lij ；;3-*;例 求矩阵的Doolittle分解;?;例:用矩阵的直接三角分解法解方程组;三 解三对角线性方程组的 追赶法;可以证明A的Crout分解形式为： ;用矩阵乘法比较和Crout 分解可推导总结算法步骤如下:;定理 设A为对称正定矩阵，则存在唯一分解A=LDLT，其中L为单位下三角阵，D=diag(d1,d2,…,dn)且di0(i=1,…,n);证明： ;DU0 即??L、U分解中的U;Cholesky分解; 从而： 其中 为下三角阵。;Cholesky分解的求法;计算公式:;求解对称正定方程组Ax=b的平方根法(计算公式) ：;;改进平方根法;;改进平方根法;令DLTx = y， 1) 解下三角形方程组Ly = b得;=LU;求解 时，A 和 的误差对解 有何影响？;§6 Error Analysis for . ;例：Hilbert 阵;一般判断矩阵是否病态，并不计算A?1，而由经验得出。 ? 行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； ? 元素间相差大数量级，且无规则； ? 主元消去过程中出现小主元； ? 特征值相差大数量级。;? 近似解的误差估计及改善：;? 改善方法(2)