数值分析(王兵团版)第二章习题.pdf
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1、设函数f (x) 的导数满足0 m f (x)M ,且f (x) 0的根存在,x 任意,
证明:
2
(0, ) x x f (x ) x
任取 ,迭代格式 对任意初值 均收敛于
k1 k k 0
M
*
x
f (x) 0的根 。
R
证明:由题意可取定义域为 。
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
由于 , 为单调函数,又 的根存在,
*
f (x) 0 x
所以方程 的根 是唯一的。
由迭代格式x x f (x )可以得到迭代函数
k1 k k
(x) x f (x) |(x) | |1 f (x) |
且
2
又0 m f (x)M 及0 得
M
0 m f (x) M 2
所以有 1 1 M 1 f (x) 1 m 1
故 |(x) | L max{|1 m |,|1 M |} 1
x R x R
此外,显然有
x x f (x ) (x ) x
由定理知迭代 k k1 k1 k1 对任意初值 均收敛于
0
*
x
f (x) 0的根 。
2 2
2.提示: x cos2x 1
3 3
3.取迭代函数 x 3 3x1,x [1,2]讨论之。
Lk
4.由x p x x 确定k,迭代次数59.
k 1 0
1L
1 1 5
5.迭代公式及区间为 x 1 , 1.5,2 ,数列的极限值 。
x 2
7、x 2cosx 2 ,可以界定根的范围,用Newton 迭代公式及定理2-6 做;
1 x
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