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数值分析(王兵团版)第二章习题.pdf

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1、设函数f (x) 的导数满足0 m f (x)M ,且f (x) 0的根存在,x 任意, 证明: 2  (0, ) x x f (x ) x 任取 ,迭代格式 对任意初值 均收敛于 k1 k k 0 M * x f (x) 0的根 。 R 证明:由题意可取定义域为 。 f (x)  0 f (x)  0 f (x) 0 由于 , 为单调函数,又 的根存在, * f (x) 0 x 所以方程 的根 是唯一的。 由迭代格式x x f (x )可以得到迭代函数 k1 k k (x) x  f (x) |(x) | |1 f (x) | 且 2 又0 m f (x)M 及0    得 M 0 m  f (x)  M  2 所以有  1 1 M  1 f (x)  1 m  1 故 |(x) | L max{|1 m |,|1 M |} 1 x R  x R 此外,显然有   x x  f (x ) (x ) x 由定理知迭代 k k1 k1 k1 对任意初值 均收敛于 0 * x f (x) 0的根 。 2 2 2.提示: x cos2x   1   3 3 3.取迭代函数 x 3 3x1,x [1,2]讨论之。   Lk 4.由x p  x x 确定k,迭代次数59. k 1 0 1L 1 1 5 5.迭代公式及区间为 x 1 , 1.5,2 ,数列的极限值 。     x 2 7、x 2cosx  2 ,可以界定根的范围,用Newton 迭代公式及定理2-6 做; 1 x
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