数值分析第二章3.pdf

2.2 特殊矩阵的特征系统 本节将介绍理论上和特征系统计算上的非常 重要的矩阵分解，即Schur分解。 定理 2.7 (Schur定理) 设A n n× ，则存在 ∈C n n× 酉阵U ∈C 使得 A URU H n n× 为上三角矩阵。 其中R ∈C A URU H 也称为矩阵的Schur分解 对矩阵的阶数n用数学归纳法证明。 证： () ( )R , U 1 n 1时，定理显然成立。即 A a 设n=k时，定理成立，即 对于 k 阶方阵A ，存 在k阶酉阵U，使得 H 现在证明，当 A URU n=k+ 1时，定理仍成立。 k +1 × k +1 记 λ1 为方阵 A ∈C( ) ( ) 的一个特征值，于是存在 u ∈Ck +1 为其对应于 λ1 的特征向量。我们可以特别选取 1 u ，使得 u 1 。再于 { }⊂Ck +1 的正交补 1 1 Span u1 uu ,, uu ,,LL ∈Ck +1 ，使 空间上选取标准正交基 22 kk ++11 u1 构成一组标准正交基。 注 U u( u, 记 u, ) L 显然 ( 1) k (+ ×1) k + 为酉阵， 1 1 2, k +1 , U1 ∈C Au 由于u λ ，则 1 1 1 H H u⎛(u , )⎞ ⎛ ⎞ 1 1 1 u1 u1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ H H u (u , ) 2 1 0 H u2 u2 ⎜ ⎟ U Au ⎜ ⎟A u λuuuλ1 1 1 ⎜ ⎟M 1