第二章 插值与数值微分.ppt

插值问题描述 设已知某个函数关系 在某些离散点上的函数值： 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 的一种简单的近似表达式,以计算点 的函数值 ，或计算函数的一阶、二阶导数值。 问题归纳如下： 1.已知函数 在[a,b]上若干点处的函数（导数）值； 2.求解 在[a,b]上任一点 处的函数值的近似值； 3.解决思路（插值法）：由 已知点的函数值，求一个足够光滑又比较简单的函数 作为 的近似表达式，以 在 处的函数值作为原函数 在此点处的函数值的近似值。 注： 可以为 代数多项式，三角多项式，有理函数，样条函数等。 插值的几何意义 插值函数的概念 定义1 已知函数 在[a,b]上有定义，且已知 点 上的函数值 若存在一个简单函数 ，满足 则 称为 的插值函数， 称为插值节点， 称为被插函数 ， [a,b]称为插值区间，求 的方法 称为插值法。 多项式插值函数 若 是次数不超过n次的实系数代数多项式， 即： 则称 为函数 的n次插值多项式，相应的 插值法称为多项式插值法。 注：实系数代数多项式 比较简单，连续，可导，可积，通 过简单的程序即可计算出其函数值。 §1 Lagrange插值多项式 一、线性插值与抛物线插值 节点上线性插值基函数 二次插值多项式 抛物插值函数 二、Lagrange 插值多项式(n次) 插值问题讨论 §2 Newton插值多项式 §3 Hermite插值多项式 §4 等距节点上的插值多项式 §5 分段插值法 （2）当 靠近 时，通常取插值节点： ，以下 为插值节点的等距插值公式。 推导以 作变换 又 则 再由 即得Newton向后插值公式 （Newton后插公式或表末公式）： 前插（后插）公式计算近似值： 说明:节点的取法：取与x尽量接近的节点。注意两点，首先，若 达到了误差要求，则其他一些节点就用不到了，因此，表中的n 可相当大， Newton插值公式中的n不一定就是表中的n；另外,表初 公式中 似乎占有较大比重，而从误差公式的对称性知 在公式中的比重是一样的。而x可能不在表初、表末而在表中间。 例5 已知 Bessel函数 函数表 试用Newton向前插值公式计算 近似值。 解：取 各阶差分见下表： ，如下表。 利用Newton向前插值公式可以计算出 精确值： 一、 高次插值的龙格(Runge)现象 1、Runge现象 ？ 问题：高次插值过程的收敛性如何？ 取等距节点 举例：对 采用10次插值，则有 （3）一般由函数y= 的n－1阶差商表可定义函数的n阶差商。 称为函数y= 在 点的n阶差商（n阶均差）。 即 注：高阶差商是两个低一阶差商的差商。 其中 为 的 n－1阶差商。 2、基本性质 的k阶差商 是函数值 （1） 的线性组合，即 （2）k 阶差商 关于节点 是对称的，或说 均差与节点顺序无关，即 例： 证明提示： (1)可用归纳法证明;(2)利用(1)很容易得到。 证明 （1）当k =1时, 由n+1阶差商定义可知 3、差商表 一阶差商 二阶差商 k 阶差商 三阶差商 已知 函数表 由差商定义及对称性，得 二、Newton插值多项式 1、Newton插值多项式的推导 把所有4个式子进行整理,得 记 --- Newton插值多项式 --- Newton插值余项 已知 有 则满足插值条件 的插值多项式为： 其中 --- Newton插值多项式 --- Newton插值余项 2、Newton插值多项式 3、n +1阶差商函数与导数的关系 阶导数存在时，由插值多项式的唯一性有余项公式 其中 且 为包含 区间. 依赖于 定理 则 n 阶差商与导数 的关系为 其中 4、Newton插值多项式步骤(当k =n 时) (1) 计算差商表(计算 的系数); (2) 用秦九韶算法或着说用嵌套乘法计算