微积分课后习题参考 答案第六章.doc

第六章 微分方程与差分方程 §1微分方程的基本概念 习 题 6 — 1 1.验证下列各题中函数是所给微分方程的解，并指出解的类型： ⑴，； 解：是的通解； ⑵，，其中a，b为常数； 解：是的特解（因为不是任意常数）； ⑶，； 解：是的特解； ⑷，； 解：是的通解； ⑸，. 解：是的通解. 知识点：，定义6.2（若一个函数代入微分方程后，能使方程两端恒等，则称这个函数为微分方程的解）和若微分方程的解中含有独立的任意常数且个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解，不含任意常数的解称为特解。 2.在曲线族中找出满足条件，的曲线. 解：由题意得：， ∵，， ∴解得,， 故所求曲线为（）。 3.某企业的净资产因资产本身的利息而以8%的年利率增长，同时企业还必须以每年100万元的数额连续地支付员工的工资.试给出描述该企业净资产（万元）的微分方程. 解：因为该企业的每年增加的净资产为万元，所以所求的微分方程为. §2一阶微分方程 习 题 6 — 2 1.求下列微分方程的通解： ⑴； 解： ； ⑵； 解： ； ⑶； 解： ； ⑷； 解： ； ⑸； 解： ； ⑹； 解： ； ⑺； 解： ； ⑻. 解： 2.求下列微分方程的通解： ⑴； 解： 令得： ； ⑵； 解： 令得： ； ⑶ 令得： （）； ⑷. 解： 令得： . 3.求下列方程的通解： ⑴； 解：将方程变形为 解对应的线性齐次方程 设原方程，求导得 将上两式代入原方程，化简得 ∴ 故原方程的通解为 ； ⑵； 解：解对应的线性齐次方程 设原方程，求导得 将上两式代入原方程，化简得 ∴ 故原方程的通解为 ； ⑶； 解：将方程变形为 解对应的线性齐次方程 设原方程，求导得 将上两式代入原方程，化简得 ∴ 故原方程的通解为 ； ⑷； 解：解对应的线性齐次方程 设原方程，求导得 将上两式代入原方程，化简得 ∴ 故原方程的通解为 ； ⑸； 解：解对应的线性齐次方程 设原方程，求导得 将上两式代入原方程，化简得 ∴ 故原方程的通解为 ； ⑹； 解：将方程变形为 ∴； ⑺； 解：将方程变形为 ∴； ⑻； 解：将方程变形为 ∴； ⑼； 解：将方程变形为 令得 将上式代入变形后方程化简得 ∴ （）； ⑽. 解：将方程变形为 令得 将上式代入变形后方程化简得 ∴ . 4.求下列微分方程的特解： ⑴，； 解： 将代入通解，得 故原方程的特解为 ； ⑵，； 将代入通解，得 故原方程的特解为 ； ⑶，； 将代入通解，得 故原方程的特解为 ； ⑷，； 将代入通解，得 故原方程的特解为 （）； ⑸，. 将代入通解，得 故原方程的特解为 5.求一曲线方程，该曲线通过原点，并且它在点处的切线斜率为. 解：由题意得，，.方程变形得， ∴ 故，将代入上式得， 所以所求的曲线方程为. 6.某银行账户以当年余额的5%的年利率连续每年盈取利息，设最初存入的数额为10 000元，且这之后没有其他数额存入或取出，给出账户中余额所满足的微分方程，并求存款到第10年的余额. 解：设为时余额，由题意得,，. ，，，将代入上式得， ，所以账户中余额所满足的微分方程为，， 所以存款到第10年的余额为元. 7.已知某产品的净利润P与广告支出x有如下关系： ， 其中，，为正的常数，，求. 解：方程变形得， ，将代入上式得， 所以. 8.某公司办公用品的平均成本与公司职员人数的关系为 ， 且，求. 解：方程变形为，令，即，代入变形后方程得 ， ，，将代入上式得， 所以. §3可降阶的二阶微分方程 习 题 6 — 3 1.求下列方程的通解： ⑴； 解： ； ⑵； 解：设，则， 于是原方程变为 ； ⑶； 设，则， 于是原方程变为 ； ⑷； ； ⑸； 解：设，则， 于是原方程变为 ； ⑹. 解：设，则， 于是原方程变为 . 2.求下列方程的特解： ⑴，，； 解：令，则， 代入方程后，得 ∵， ∴ 故 ∵ ∴ 故 化简得：； ⑵，，； 解：令，则， 代入方程后，得 ∵ ∴ 故 ∵ ∴ 故； ⑶，，. 解：令，则， ∵，， ∴ 故 ∵ ∴ 故 . §4二阶常系数线性微分方程 习 题 6 — 4 1.求下列方程的通解： ⑴； 解：特征方程为， 特征根为，， 故方程的通解为 ； ⑵； 解：特征方程为， 特征根为， 故方程的通解为 ； ⑶； 解：特征方程为， 特征根为，， 故方程的通解为 ； ⑷； 解：特征方程为， 特征根为， 故方程的通解为 ； ⑸； 解：其对应的齐次方程的特征方程为 解得：， 故对应的齐次方程的通解为 ∵不是特征方程的根，∴设特解为 求导得：， 将，，代入原方程，化简得 ，解得，故特解为， 从而非齐次线性方程的通解为 （）； ⑹； 解：其对应