微积分-经管类第四版-吴赣昌-习题全解-第六章定积分的应用.doc

第六章定积分的应用 内容概要 名称 主要内容 定积分的元素法 定积分的元素法是一种简单记忆定积分（）三步骤的方法： 1、将记为 2、将写为 平面图形的面积 直角坐标系 X-型 Y-型 极坐标系 体积 旋转体体积 已知平行截面面积的立体体积 绕x轴旋转： 已知垂直于x轴的平面截立体所得截面面积为,立体又被夹于和两平面间，则： 已知垂直于y轴的平面截立体所得截面面积为,立体又被夹于和两平面间，则： 绕y轴旋转： 绕y轴旋转： 平面曲线的弧长 直角坐标 参数方程 极坐标 ：， ； ： ：，； ； 物理应用：1、变力沿直线作功 2、水压力 3、引力 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线与直线所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 0 0 1 图6-2-1 ∵所围区域D表达为X-型：， （或D表达为Y-型：） ∴ （） ★ 2．求在区间[0，/2]上，曲线与直线、所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解：见图6-2-2 0 0 图6-2-2 1 ∵所围区域D表达为X-型：， （或D表达为Y-型：） ∴ （ ） ★★3．求由曲线与所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-3 0 0 4 图6-2-3 ∵两条曲线的交点：， ∴所围区域D表达为Y-型：， ∴ （由于图形关于X轴对称，所以也可以解为： ） ★★4．求由曲线、、及直线所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 0 0 1 图6-2-4 1 2 ∵第一象限所围区域表达为Y-型：， ∴ （若用X-型做，则第一象限内所围区域，其中：， ：；∴） ★★5．求由曲线与直线及所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-5 0 0 1 图6-2-5 2 1 ∵两条曲线和的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和分别交于 、 ∴所围区域表达为X-型：， ∴ ★★★6．抛物线分圆的面积为两部分，求这两部分的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于X轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为，剩余面积为 0 0 图6-2-6 0 2 ∵两条曲线、的交于（舍去的解）， ∴所围区域表达为Y-型：；又图形关于x轴对称， ∴ （其中） ∴ ★★★7．求由曲线、与直线所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2 0 0 1 图6-2-7 1 ∵两条曲线和的交点为（0，1），又这两条线和分别交于 和 ∴所围区域表达为X-型：， ∴ ★★★8．求由曲线与直线及所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-8 0 0 1 图6-2-8 ∵在的定义域范围内所围区域：， ∴ ★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y轴，且向下弯；（2）它与x轴所围图形面积最小 知识点：平面图形面积和求最值 思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量 解：由于抛物线的对称轴平行于y轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为，（由于下弯，所以），将（1，2）代入，得到，因此 该抛物线和X轴的交点为和， ∴所围区域： ∴ 得到唯一极值点：， ∴所求抛物线为： ★★★★10．求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积 知识点：切线方程和平面图形面积 思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型 解：，∴在任一点处的切线方程为 而过（0，0）的切线方程就为：，即 所求图形区域为,见图6-2-10 0 0 图6-2-10 X-型下的：，： ∴ ★★★11．求由曲线所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：作图可知该曲线是半径为、圆心（）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为， 也可选择极坐标求面积的方法做。 解：∵作图6-1-11 0 0 图6-1-11 知所求图形区域： ∴ ★★★12．求三叶玫瑰线的面积 知识点：平面图形面积 图6-2-120思路 图6-