概率论与数理统计理工类第四版吴赣昌主编课后习题答案第六章.doc

第六章 参数估计 HYPERLINK /section.aspx?treeid=444 \t _blank 6.1 点估计问题概述 习题1 总体X在区间[0,θ]上均匀分布，X1,X2,?,Xn是它的样本，则下列估计量θ?是θ的一致估计是(). (A)θ?=Xn;??????????? ????(B)θ?=2Xn; (C)θ?=Xˉ=1n∑i=1nXi;??? ??(D)θ?=Max{X1,X2,?,Xn}. 解答： 应选(D). 由一致估计的定义，对任意?0, ?????????????P(∣Max{X1,X2,?,Xn}-θ∣?) ???????????=P(-?+θMax{X1,X2,?,Xn}?+θ) ???????????=F(?+θ)-F(-?+θ). 因为 FX(x)={0,x0xθ,0≤x≤θ1,xθ,?及F(x)=FMax{X1,X2,?,Xn}(x)=FX1(x)FX2(x)?FXn(x), 所以 F(?+θ)=1,?F(-?+θ)=P(Max{X1,X2,?,Xn}-?+θ)=(1-xθ)n, 故 P(∣Max{X1,X2,?,Xn}-θ∣?)=1-(1-xθ)n→1(n→+∞). 习题2 设σ是总体X的标准差，X1,X2,?,Xn是它的样本，则样本标准差S是总体标准差σ的(). (A)矩估计量；??(B)最大似然估计量；???(C)无偏估计量；???(D)相合估计量. 解答： 应选(D). 因为，总体标准差σ的矩估计量和最大似然估计量都是未修正的样本标准差；样本方差是总体方差的无偏估计，但是样本标准差不是总体标准差的无偏估计.可见，样本标准差S是总体标准差σ的相合估计量. 习题3 设总体X的数学期望为μ,X1,X2,?,Xn是来自X的样本，a1,a2,?,an是任意常数，验证(∑i=1naiXi)/∑i=1nai?(∑i=1nai≠0)是μ的无偏估计量. 解答： ????E(X)=μ, ????E(∑i=1naiXi∑i=1nai)=1∑i=1nai?∑i=1naiE(Xi)??(E(Xi)=E(X)=μ) ????????????? ??=μ∑i=1nai∑i=1n=μ, 综上所证，可知∑i=1naiXi∑i=1nai是μ的无偏估计量. 习题4 设θ?是参数θ的无偏估计，且有D(θ?)0,?试证θ?2=(θ?)2不是θ2的无偏估计. 解答： 因为D(θ?)=E(θ?2)-[E(θ?)]2,?所以 E(θ?2)=D(θ?)+[E(θ?)]2=θ2+D(θ?)θ2, 故(θ?)2不是θ2的无偏估计. 习题5 设X1,X2,?,Xn是来自参数为λ的泊松分布的简单随机样本，试求λ2的无偏估计量. 解答： 因X服从参数为λ的泊松分布，故 D(X)=λ,?E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ+λ2=E(X)+λ2, 于是E(X2)-E(X)=λ2,?即E(X2-X)=λ2. 用样本矩A2=1n∑i=1nXi2,A1=Xˉ代替相应的总体矩E(X2),E(X),?便得λ2的无偏估计量 λ?2=A2-A1=1n∑i=1nXi2-Xˉ. 习题6 设X1,X2,?,Xn为来自参数为n,p的二项分布总体，试求p2的无偏估计量. 解答： 因总体X～b(n,p),?故 E(X)=np, ???????? ???? ??E(X2)=D(X)+[E(X)]2=np(1-p)+n2p2 ?????????????????????=np+n(n-1)p2=E(X)+n(n-1)p2, E(X2)-E(X)n(-1)=E[1n(n-1)(X2-X)]=p2, 于是，用样本矩A2,A1分别代替相应的总体矩E(X2),E(X),便得p2的无偏估计量 p?2=A2-A1n(n-1)=1n2(n-1)∑i=1n(Xi2-Xi). 习题7 设总体X服从均值为θ的指数分布，其概率密度为 f(x;θ)={1θe-xθ,x00,x≤0, 其中参数θ0未知. 又设X1,X2,?,Xn是来自该总体的样本，试证：Xˉ和n(min(X1,X2,?,Xn))都是θ的无偏估计量，并比较哪个更有效. 解答： 因为E(X)=θ,?而E(Xˉ)=E(X),?所以E(Xˉ)=θ,?Xˉ是θ的无偏估计量.设 Z=min(X1,X2,?,Xn), 因为 FX(x)={0,x≤01-e-xθ,x0, FZ(x)=1-[1-FX(x)]n={1-e-nxθ,x00,x≤0, 所以fZ(x)={nθe-nxθ,x00,x≤0,?这是参数为nθ的指数分布，故知E(Z)=θn,?而 E(nZ)=E[n(min(X1,X2,?,Xn)]=θ, 所以nZ也是θ的无偏估计.现比较它们的方差大小. 由于D(X)=θ2,?故D(Xˉ)=θ2n. 又由于D(Z)=(θn)2,?故有 D(nZ