概率论与数理统计理工类第四版吴赣昌主编课后习题答案第二章.doc

第二章 随机变量及其分布 2.1 随机变量 习题1 随机变量的特征是什么？ 解答： ①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数. ②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值. ③随机变量取特定值的概率大小是确定的. 习题2 试述随机变量的分类. 解答： ①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量. ②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量. 习题3 盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,?,9,?从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率. 解答： 分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3},?定义随机变量X如下： ?????????????X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3 则X取每个值的概率为 ???P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10, ???P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10, ???P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10. 2.2 离散型随机变量及其概率分布 习题1 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},?求λ. 解答： 由P{X=1}=P{X=2},?得 ?????????????????λe-λ=λ22e-λ, 解得 ????????????? ???????λ=2. 习题2 设随机变量X的分布律为 ???????????P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5, 试求 (1)P{12X52;? ?(2)P{1≤X≤3};???(3)P{X3}. 解答： (1)P{12X52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15; (2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3} ??????????????=115+215+315=25; (3)P{X3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35. 习题3 已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c,?试确定常数c,?并计算P{X1∣X≠0}. 解答： 依题意知，12c+34c+58c+716c=1,?即3716c=1, ??????????????? ??c=3716=2.3125. 由条件概率知 ?????P{X1∣X≠0}=P{X1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0} ???????????????????=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32. 习题4 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.?在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 解答： 随机变量X的可能取值为3,4,5. P{X=3}=C22?1C53=110,?P{X=4}=C32?1C53=310,?P{X=5}=C42?1C53=35, 所以X的分布律为 X 3 4 5 pk 1/10 3/10 3/5 习题5 某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下： X 10 20 30 40 pi 0.15 0.25 0.45 0.15 求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率. 解答： 因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为： ???P{3X60},?即P{X20}, ???P{X20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6. 就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6. 习题6 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1,?当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求： (1)X的概率分布；?????????? ??(2)P{X≥5}; (3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少? 解答： (1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,?; (2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5; (3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足 ???????????????P{X≥m}=0.6, 即P{X≤m-1}=0.4. 由于 ??????P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m, 故上式化为1-0.9m=0.4,?解上式得 ??????