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第五章 相似矩阵及二次型 §1 向量的内积、长度及正交性 在这一章中, 我们主要讨论方阵的相似对角化和二次型的化简的问题, 其中会用到向量的内积, 特征值和特征向量的概念. 我们在这一节中介绍向量的内积的概念. 一. 内积, 长度和夹角. 在平面解析几何里, 我们有向量的长度, 夹角的概念, 我们希望在向量空间中也能够定义长度, 夹角的概念. 通过引入向量的内积的概念, 我们就能够利用内积来定义向量空间中的向量的长度和夹角概念. 我们首先来看平面解系几何里内积是怎么定义的. 在平面中, 引进直角坐标系 向量的数量积(即内积), 其中, 分别是向量和的长度, 是向量和的夹角. 若, , 则可以证明. 的长度: . 若, , 则, 所以. 所以在平面解系几何里, 向量的长度和夹角都可用向量的数量积表示. 下面我们把平面上的数量积的概念推广到向量空间中, 这就是我们下面要介绍的内积的概念. 我们来看内积的定义. 定义. 设, , 称为与的内积. 所以两个向量的内积就是把两个向量的对应分量相乘相加. 利用内积的定义, 我们可以证明下面的简单的内积的性质. 性质. 设, 是实数. (i) . (ii) . (iii) . (iv) . 即. 由(i), (ii)知. 类似的由(i), (iii)知. 利用上面的性质可以证明施瓦茨不等式. 施瓦茨不等式: . 引入了向量的内积的概念以后, 我们就可以定义向量的长度和夹角的概念. 我们先来看向量的长度的定义. 定义. , 称为向量的长度(或范数), 其中. 若, 则称为单位向量. 关于向量的长度, 我们有下面的简单性质. 性质(i) , 且. (ii) , 其中是实数, 是维向量. (注意这个性质与行列式的性质的区别. 若是阶矩阵, 是实数, 则.) (iii) 三角不等式. . (对于平面上的向量来说, 这个性质的几何意义就是两边之和小于等于第三边.) 证: (i)与(ii)是显然的. 下面我们证明(iii). 要证. 只要证. 而 所以. 下面我们利用内积来定义两个向量的夹角. 若, , 则称为向量与的夹角. 在这个定义里我们需要说明这个定义是合理的. 因为我们知道, 所以我们需要证明. 根据施瓦茨不等式, 我们有. 所以. 所以. 在平面解系几何里我们有垂直的概念, 下面我们把垂直这个概念推广到向量空间中去, 这就是我们下面要介绍的正交的概念. 如果两个向量做内积等于零, 我们就称这两个向量正交. 若, 则称与正交. 关于向量的正交的概念我们要注意两点. 注意: 1.零向量与任何向量正交. 2. 若 , , 则与正交. 也就是说两个非零向量正交当且仅当它们的夹角是. 所以正交这个概念是向量垂直的推广. 二. 规范正交基. 下面我们引进规范正交基的概念, 在引进正交基的概念之前我们需要引进正交向量组的概念. 所谓正交向量组是指一组两两正交的非零向量. 定义. 正交向量组是指一组两两正交的非零向量. 注意正交向量组里的每个向量都要求是非零向量. 关于正交向量组我们有下面的简单性质. 定理. 若维向量是一个正交向量组, 则线性无关. 证: 设. 要证. 则, (). 但是, . 所以. 因为, 所以, (). 所以线性无关. □引进了正交向量组的概念以后, 我们就可以引进规范正交基的概念. 什么叫规范正交基. 定义. 设是向量空间的一个基, 是正交向量组, 且都是单位向量, 则称是的一个规范正交基. 我们前面说过, 取定向量空间的一组基相当于是取定了向量空间的一个坐标系, 那么在向量空间中取定一组规范正交基, 相当于是取定了向量空间的一个直角坐标系. 例. 若, . 则是的一个规范正交基. 关于规范正交基, 我们有下面简单的性质. 性质. 设是的一个规范正交基, , , 则. 证: , 所以. □所以如果在向量空间中取定了一个规范正交基, 那么向量空间中的向量在这组规范正交基下的坐标可以通过内积来计算. 下面我们讨论如何通过向量空间的取定的基来构造这个向量空间的规范正交基. 我们有下面这样一个定理. 定理. 设是向量空间的一个基. 正交化: 令, 则两两正交, 且与等价 (). 再把它们单位化, 令, , . 则是的一个规范正交基. 上面讲的从线性无关的向量组导出正交向量组的过程称为施密特正交化过程. 这个定理在这里我们就不证了, 你们要把这个定理的结论记住. 例. 设, , . 试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化. 解: 正交化: 令, , . 单位化: 令, , . □例. 已知. 求一组非零向量,, 使两两正交. 解: 满足方程. 求得基础解系为,. 把正交化, 令, . 则,