线性代数 第五章二次型.pptx

华南农业大学理学院应用数学系线性代数多媒体教学演示

第一章矩阵与线性方程第三章向量的内积与正交矩真第五章二次型第七章Matlab软件的应用第二章向量与线性方程组第六章线性空间与线性变换第四章矩阵的特征与特征向量

0102031二次型的标准形3正定二次型2二次型的规范形第五章二次型

二次型的标准形第一节

01定义02叫做二次型。二次型和它的矩阵

对称矩阵A01对称矩阵A的秩定义为二次型f的秩02二次型f

01显然A是对称矩阵，02这表明对称矩阵A是二次型03的矩阵。

只含有平方项的二次型叫做标准形解0102

（秩不变）

二次型的标准形定义如果x的二次型经过可逆线性变换x=Hy变成y的二次型就称此二次型为原来二次型的标准形。定理1对于任意可逆矩阵C,令定义设A,B为n阶方阵,如果存在n阶可逆矩阵C,使得则称矩阵A与B是合同的,称矩阵C为合同变换矩阵.如果A是对称矩阵,则B也是对称矩阵,且R(A)=R(B).

定理2任给二次型是任意二次型其中A是n阶对称矩阵存在正交矩阵P，使得作正交变换总有正交变换x=Py使f化为标准形其中为A的所有特征值.

定理:设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使1用正交变换化二次型为标准型2

A正交变换对称矩阵AB正交矩阵P

1.求二次型的矩阵A用正交变换化二次型为标准型的具体步骤：2.求矩阵A的特征方程3.求特征方程的根，即特征值4.对每个特征值解方程组得到n个特征向量5.对这个特征向量正交化和单位化，得到6.便得到标准型

得特征值可求得的单位特征向量顺次为

010203040506试用正交变换化二次型为标准形解矩阵A的特征多项式为特征值正交化

单位化01作正交变换02代入f，得到标准型03

01例02求下列平面图形所围图形的面积：03解04A的特征值为05经过正交变换06曲线可化为标准形

二次型的规范形第二节

例01对二次型02作不同的变换化为03标准型。04解05作变换06若取可逆的线性变换07非零项的个数相同，正项的个数也相同08

二次型01可通过可逆的线性变换02化为标准型:03且04例05试指出二次型06经可逆07线性变换后的标准型中非零项的数目。08定理5.3

的惯性指标=f的矩阵A的非零特征值个数r对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的（称为负惯性指标），因而非零项的个数固定(称为惯性指标）f的正惯性指标=f的矩阵A的正特征值个数f的负惯性指标=f的矩阵A的负特征值个数惯性定律

正定二次型第三节

正定二次型定义：

定理1推论判定二次型的正定性

P2P1定理2推论P3定理

定理3(hurwitz定理）定义设n阶方阵我们把n个行列式都叫做矩阵的顺序主子式。推论

方法一方法二A的特征方程为解出特征值故A是正定矩阵，f是正定二次型。A的三个顺序主子式为所以A是正定矩阵，f是正定二次型。

01解02A的三个顺序主子式为03所以f为负定二次型。

通过计算,易得A的特征值分别为01A既不是正定的,也不是负定的,也不是半正定的02

判别正定二次型（矩阵）的三种方法补充1.标准形01是正定二次型的充分必要条件是:存在3.顺序主子式03可逆阵P,使得2.特征值02

证明：若A是正定矩阵，则也是正定矩阵。

练一练判别二次型的正定性

二次型1正定时，t应满足的条件2

练一练01二次型正定时，t应满足的条件02