文档详情

“线性代数”第五章相似矩阵与二次型第6节.ppt

发布:2017-04-05约2.7千字共17页下载文档
文本预览下载声明
第六节 正定二次型 第六节 实二次型的正定性 正(负)定二次型的判定 正(负)定二次型的概念 二次型的规范形及惯性定理 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.   下面我们限定所用的变换为实变换,来研究 一个实二次型,既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 其标准形一般来说是不唯一的,但标准形中所含 有的项数是确定的,就等于二次型的秩. 二次型的标准形所具有的性质. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 再实施线性变换 则二次型化为 这种系数为1或-1的二次型称为二次型的规范形 一、二次型的规范形及惯性定理 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 惟一是指规范形中指标p和r是由二次型确定的, 其中r是二次型的秩,p 称为二次型的正惯性指数. 任意一个实二次型 定理 总可以经过一个适当的可逆线性变换化 成规范形,且规范形是惟一的. 称 r-p 为负惯性指数,正负惯性指数的差 2p-r 叫做 符号差. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 因为二次型的规范形 对应的矩阵为: 所以有以下推论: 任意实对称矩阵合同于对角形矩阵 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 恒有 若对任何非零向量 若对任何 恒有 二、正(负)定二次型的概念 定义 负定, 并称对称矩阵A为负定矩阵. 是实二次型, Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 为正定二次型 为负定二次型 例如 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 实二次型 为正定的充分必要条件是:它的标准形的n个系数 全为正。 充分性: 三、正定二次型的判定定理 定理 设可逆变换 证明 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 必要性:反证法。 推论 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 称为矩阵A 的 i 阶顺序主子式。 定义 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 负正相间, Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例 判断下列实二次型是否正定 解 (1)f 的矩阵为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Prof
显示全部
相似文档