“线性代数”第五章相似矩阵与二次型第6节.ppt
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第六节 正定二次型
第六节 实二次型的正定性
正(负)定二次型的判定
正(负)定二次型的概念
二次型的规范形及惯性定理
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下面我们限定所用的变换为实变换,来研究
一个实二次型,既可以通过正交变换化为标准形,
也可以通过拉格朗日配方法化为标准形,
其标准形一般来说是不唯一的,但标准形中所含
有的项数是确定的,就等于二次型的秩.
二次型的标准形所具有的性质.
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再实施线性变换
则二次型化为
这种系数为1或-1的二次型称为二次型的规范形
一、二次型的规范形及惯性定理
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惟一是指规范形中指标p和r是由二次型确定的,
其中r是二次型的秩,p 称为二次型的正惯性指数.
任意一个实二次型
定理
总可以经过一个适当的可逆线性变换化
成规范形,且规范形是惟一的.
称 r-p 为负惯性指数,正负惯性指数的差 2p-r 叫做
符号差.
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因为二次型的规范形
对应的矩阵为:
所以有以下推论:
任意实对称矩阵合同于对角形矩阵
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恒有
若对任何非零向量
若对任何
恒有
二、正(负)定二次型的概念
定义
负定,
并称对称矩阵A为负定矩阵.
是实二次型,
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为正定二次型
为负定二次型
例如
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实二次型
为正定的充分必要条件是:它的标准形的n个系数
全为正。
充分性:
三、正定二次型的判定定理
定理
设可逆变换
证明
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必要性:反证法。
推论
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称为矩阵A 的 i 阶顺序主子式。
定义
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负正相间,
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例 判断下列实二次型是否正定
解 (1)f 的矩阵为
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