第五章相似矩阵二次型解析.ppt

三、相似矩阵 2．性质与定理 性质1 相似矩阵有相同的行列式，相同的秩。 性质2 若 A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征多项式和特征值。 若 n 阶方阵 A 与对角阵 相似， 则 即为 A 的 n 个特征值。 定理 n 阶方阵 A 与对角阵 相似 ? A 有 n 个线性无关的特征向量。 三、相似矩阵 【定理证明】 必要性： 如果有可逆矩阵 P，使得 PAP=Λ 为对角阵，即 AP=PΛ，Λ=diag(λ1，λ2，…，λn) 若记矩阵 P=(p1，p2，…，pn)，其中 p1，p2，…，pn 是 P 的列向量组，就有 A (p1，p2，…，pn )=(p1，p2，…，pn )Λ 即为 (Ap1，Ap2，…，Apn )=(λ1p1，λ2 p2，…， λnpn ) 于是有 Api= λi pi ，i=1,2,…,n ， 再由 P 可逆便知， p1，p2，…，pn 就是 A 的 n 个线性无关的特征向量。 三、相似矩阵 充分性： 如果 n 阶方阵 A 有 n 个线性无关的特征向量 p1，p2，…，pn， 于是，应有数 λ1，λ2，…，λn，使 Api=λipi，i=1,2,…,n 以向量组 p1，p2，…，pn 构成矩阵 P=( p1，p2，…，pn )， 则 P 为可逆矩阵，且 AP=PΛ， 其中 Λ 是以 构成的对角矩阵，即 P-1AP=Λ，即 A 与对角矩阵相似。 推论 如果n阶方阵A的特征值互不相等，则A与对角阵相似。 三、相似矩阵 例9 判断矩阵 A 是否与对角矩阵相似， 若是，求出相似变换矩阵和对角阵。 【解】 A 的特征多项式为：P(λ)=|A-λE|=-λ(λ-1)2， 因此，A 的特征值为 λ1=0，λ2=λ3=1 。 所以，A 有3个线性无关的特征向量，它能与对角阵相似。 令 ，则 P 为所求相似变换矩阵，且 三、相似矩阵 例10 设2阶方阵 A 的特征值为 1，-5，与特征值对应的 特征向量分别为 (1,1)T，(2,-1)T，求 A 。 【答案】 例11 如果 于是，A 与 B 有相同的特征多项式，但 A 与 B 不相似。 三、相似矩阵 例12 已知 【解】 因为相似矩阵有相同的特征值，故A与B有相同的特征值： 2，y，1 。 根据 得到 所以， x=0，y=1 。 四、实对称矩阵的对角化 1．实对称矩阵的特征值与特征向量的结论 定理1 实对称矩阵的特征值为实数。 【证明】 设 即 实对称矩阵的特征值为实数。 四、实对称矩阵的对角化 定理2 设 λ1，λ2 是实对称矩阵 A 的两个不同的特征值， p1，p2 依次是它们对应的特征向量，则 p1 与 p2 正交。 【证明】 设 所以， p1 与 p2 正交。 四、实对称矩阵的对角化 定理3 设A为n阶对称矩阵，λ 是 A 的特征方程的 r 重根， 则 R(A-λE)=n-r，从而 对应于特征值 λ 恰有 r 个 线性无关的特征向量。 这条性质不作证明。 定理4 设 A 为 n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵 P ，使 P-1AP=Λ ， 其中 Λ 是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角阵。 这个定理不作证明。 四、实对称矩阵的对角化 2．实对称阵的对角化举例 〖步骤〗 求出方阵 A 的全体特征值； 求出每一个特征值对应的特征向量，并正交、单位化； 写出正交矩阵 P 以及对角矩阵 Λ 。 （详细描述参见教材 P127。） 四、实对称矩阵的对角化 例13 设 求一个正交矩阵 P ， 使 P-1AP=Λ 为对角阵。 【解】 故，得到特征值 单位化后得到 四、实对称矩阵的对角化 正交化： 取 单位化，得 取 P=(p1 , p2 , p3)，则 P-1AP=PTAP=diag(3,0,0) 。 四、实对称矩阵的对角化 例14 设 【解】 因为 A 为实对称矩阵，故 A 可对角化，即 存在可逆矩阵 P 及对角阵 Λ ，使得