线性代数习题[第五章]相似矩阵及二次型.doc

5-1向量的内积与方阵的特征值 1．设为矩阵的特征值，且，则为 的特征值。 2．设为阶实对称阵，为的不同特征值对应的特征向量，则 。 与线性相关； 与线性无关； 3．设都为阶矩阵的特征值，且分别为对应于的特征向量，则当 满足时，必为的特征向量。 且； 且； 且； 4．设阶方阵的特征值全不为零，则 。 5.设矩阵,求A的特征值及特征向量. 6．试用施密特法把向量组正交化。 7．设与都为阶正交阵，证明：也是正交阵。 8．证明：正交阵的行列式必定等于1或—1。 9．设为维列向量且，而，试证是对称的正交矩阵。 习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化 1．设与为阶方阵，则是与相似的 。 充分条件； 必要条件； 充要条件； 无关条件 2.对实对称阵，有与 。 互为逆矩阵； 相似； 等价； 正交 3. 阶矩阵与对角阵相似的充要条件是 。 a. 矩阵有个特征值； b. 矩阵有个线性无关的特征向量； c. 矩阵的行列式； d. 矩阵的特征多项式有重根 4. 设阶矩阵与相似，则 。 a.与正交； b. 与有相同的特征向量； c. 与等价； d. 与相同的特征值。 5.若与是相似矩阵，证明与也相似。 6.设方阵与相似，求与。 7.设三阶方阵的特征值1，—2，2，且，求的特征值与。 8.设矩阵，①求的特征值，②求E+的特征值。 班级： 姓名： 序号： 线性代数练习纸 [第五章] 相似矩阵及二次型 28 27