线性代数相似矩阵讲解.pptx

5.2相同矩阵

定义1设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使



P1APB,

则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进



行运算P1AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P

称为把A变成B的相似变换矩阵.

1.等价关系

(1)反身性A与A本身相似.

(2)对称性若A与B相似,则B与A相似.

(3)传递性若A与B相似,B与C相似,

则A与C相似.

111

2.PA1A2PPA1PPA2P.

3.若A与B相似,则Am与Bm相似m为正整数.

111

4.Pk1A1k2A2Pk1PA1Pk2PA2P

其中是任意常数

k1,k2.

定理1若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项

式相同,从而A与B的特征值亦相同.

证明A与B相似

可逆阵P,使得P1APB

BEP1APP1EP

P1AEP

P1AEP

AE.

推论若n阶方阵A与对角阵



1



2





n

相似,则1,2,,n即是A的n个特征值.

利用对角矩阵计算矩阵多项式

个

若APBP1,则k

k1k1

APBP1PBP1PBP1PBPPBP.

A的多项式

nn1

(A)a0Aa1Aan1AanE

n1n11

a0PBPa1PBP

11

an1PBPanPEP

nn11

P(a0Ba1Ban1BanE)P



P(B)P1.



特别地,若可逆矩阵P使P1AP为对角矩阵,



则AkPkP1,(A)P()P1.

对于对角矩阵,有

k

1

k

k2

,

利用上

k

n述结论能够

()很以便地计

1

算矩阵A旳

(1)

(),多项式(A).



