线性代数课件第5章相似矩阵及二次型习题课.ppt

线　性　代　数 第五章　相似矩阵及二次型 定义 １　向量内积的定义及运算规律 定义 向量的长度具有下列性质： ２　向量的长度 定义 ３　向量的夹角 　　所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基． 定理 定义 ４　正交向量组的性质 施密特正交化方法 第一步　正交化 第二步　单位化 定义 ５　正交矩阵与正交变换 定义　若　为正交矩阵，则线性变换　　　称为 正交变换． 正交变换的特性在于保持线段的长度不变． 定义 ６　方阵的特征值和特征向量 ７　有关特征值的一些结论 定理 定理 　属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量． ８　有关特征向量的一些结论 定义 　　矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性． ９　相似矩阵 １０　有关相似矩阵的性质 　　(4)　能对角化的充分必要条件是　有　个线 性无关的特征向量． １１　实对称矩阵的相似矩阵 定义 １２　二次型 二次型与它的矩阵是一一对应的． 定义 １３　二次型的标准形 １４　化二次型为标准形 定义 １５　正定二次型 １６　惯性定理 注意 １７　正定二次型的判定 一、证明所给矩阵为正交矩阵 典　型　例　题 二、将线性无关向量组化为正 　　交单位向量组 三、特征值与特征向量的求法 四、已知　的特征值，求与　 　　相关矩阵的特征值 五、求方阵　的特征多项式 六、关于特征值的其它问题 七、判断方阵　可否对角化 八、利用正交变换将实对称 　　矩阵化为对角阵 九、化二次型为标准形 一、证明所给矩阵为正交矩阵 证明 　　将线性无关向量组化为正交单位向量组，可 以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与 单位化． 二、将线性无关向量组化为正交单位 向量组 解一　先正交化，再单位化 解二　同时进行正交化与单位化 第三步　将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量． 三、特征值与特征向量的求法 解 四、已知　的特征值，求与　相关  矩阵的特征值 解 五、求方阵　的特征多项式 解 六、关于特征值的其它问题 方法一 方法二 方法三 解 七、判断方阵　可否对角化 解　第一步　求A的特征值．由 八、利用正交变换将实对称矩阵化为　　对角阵 九、化二次型为标准形 解 第五章　　测试题 一、填空题(每小题4分，共32分)． 二、计算题（共40分）． 三、证明题（共20分）． 四、（8分）设二次型 经正交变换 化成 测试题答案