经济数学线性代数 习题答案（王光辉）第1--5章 矩阵 -- 相似矩阵及二次型.pdf
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经济数学线性代数习题答案
第1章矩阵
习题全解
同步习题1.1
【基础题】
1.写出以下线性变换对的矩阵.
必二4%，
⑵卜*
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线性代数课件第5章相似矩阵及二次型习题课.ppt
线 性 代 数
第五章 相似矩阵及二次型
定义
１ 向量内积的定义及运算规律
定义
向量的长度具有下列性质：
２ 向量的长度
定义
３ 向量的夹角
所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零
向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正
交基．
定理
定义
４ 正交向量组的性质
施密特正交化方法
第一步 正交化
第二步 单位化
定义
５ 正交矩阵与正交变换
定义 若 为正交矩阵，则线性变换 称为
正交变换．
正交变换的特性在于保持线段的长度不变．
定义
６ 方阵的特征值和特征向量
７ 有关特征值的一些结论
定理
定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性
组合仍是属于这个特征值的特征向
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线性代数_第5章_相似矩阵及二次型.ppt
定理 对称矩阵必可正交对角化。 即设A是对称矩阵，则存在正交矩阵Q 使得 推论 对称矩阵特征值的重数必等于其 对应的最大无关特征向量的个数。 例1 (P127 例12) 把对称矩阵 正交对角化。 第1步:求特征值。 (特征值必都是实数) 第2步:求线性无关的特征向量。 对 ，解方程组 求得基础解系(即无关特征向量，几个向量？) 对 ，解方程组 求得基础解系(即无关特征向量，几个向量？) 前面的 第3步:检验重特征值对应的特征向量是否正交， 如果不正交，用施密特过程正交化，再把 正
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线性代数及应用（第2版）（高淑萍）课件全套 第1--4章 矩阵及应用---相似矩阵与二次型.pptx
第1章矩阵及应用;回顾我们从小学习数学的过程，就是在重复数学发展的过程．一些数学后来被更有力的工具和更简单的方法所产生的新的数学所替代了，即“初等”的被“高等”的所替代了.;;;1.1高斯消元法;1.1高斯消元法;;1.1高斯消元法;1.1高斯消元法;第1章矩阵及应用;1.2矩阵的定义与运算;矩阵的定义;矩阵的定义;几种特殊矩阵;几种特殊矩阵;;;矩阵的运算;矩阵的运算;矩阵的运算;矩阵的运算;;矩阵的运算;矩阵的运算;矩阵的运算;矩阵的运算;矩阵的运算;矩阵的运算;矩阵的运算;矩阵的运算;第1章矩阵及应用;1.3可逆矩阵;;;可逆矩阵的定义;可逆矩阵的定义;;可逆矩阵的性质;;可逆矩阵的性质
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“线性代数”第五章相似矩阵与二次型第6节.ppt
第六节 正定二次型
第六节 实二次型的正定性
正（负）定二次型的判定
正（负）定二次型的概念
二次型的规范形及惯性定理
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下面我们限定所用的变换为实变换，来研究
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，
也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，
其标准形一般来说是不唯一的,但标准形中所含
有的项数是确定的，就等于二次型的秩．
二次型的标准形所具有的性
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线性代数课件5-2相似矩阵与二次型.ppt
课件1第五章相似矩阵及二次形
课件2第二节方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量：课件3说明
课件6例1解
练习课件8解
特征多项式为课件10例2解
下求齐次方程的通解（即特征向量）
下求齐次方程通解课件12
练习课件14解特征多项式为
例3证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则证明
二、特征值和特征向量的性质课件19则类推之，有证明即
于是，得到关于课件20的m个方程下求该齐次方程组的解
（由特征值各不相等）从而，齐次方程只有零解。
注意01A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的．02矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量
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线性代数相似矩阵与二次型弟1节特征值.ppt
思考题1 思考题1解答 * §5.1 特征值与特征向量 一. 定义 第五章 相似矩阵与二次型 §5.1 特征值与特征向量 ? A? = ?? n阶方阵 非零向量 特征值(eigenvalue) 特征向量(eigenvector) 对应 ? “Eigen” is German for “characteristic of” or “peculiar to”; some authors call these characteristic values and vectors. No authors call them “peculiar”. Evaluation on
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(精)同济版线性代数课件--§3相似矩阵.ppt
同济版线性代数课件 §3 相似矩阵 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化 证明 定理3 推论 若 阶方阵A与对角阵 利用对角矩阵计算矩阵多项式 k个 利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的多项式 . 定理 定理4 说明 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似． 推论 如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到
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线性代数习题[第五章]相似矩阵及二次型.doc
5-1向量的内积与方阵的特征值
1．设为矩阵的特征值，且，则为 的特征值。
2．设为阶实对称阵，为的不同特征值对应的特征向量，则 。
与线性相关； 与线性无关；
3．设都为阶矩阵的特征值，且分别为对应于的特征向量，则当 满足时，必为的特征向量。
且； 且； 且；
4．设阶方阵的特征值全不为零，则 。
5.设矩阵,求A的特征值及特征向量.
6．试用施密特法把向量组正交化。
7．设与都为阶正交阵，证明：也是正交阵。
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线性代数第5章(第3节相似矩阵).ppt
相似矩阵的概念;则称矩阵 A 相似于矩阵 B.;而矩阵 B 相似于矩阵 C , 则矩阵 A 相似于矩阵 C.;阶矩阵.; = |A - ?E| . 证毕;例1 若A与B=diag(1,1,2)相似, 则A,B的特征值分别是多少?;些运算. ;的性质,可得;注：并不是所有方阵都可以相似于一个对角矩阵的。;P-1AP = ? , 得 AP = P? , 即;?1 , ?2 , … , ?n 的特征向量.;即 P-1AP
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线性代数相似矩阵.PPT
* * 第五章相似矩阵 一、内积的定义与性质 1、定义 设ｎ维实向量 称实数 为向量α与β的内积，记作 注：内积是向量的一种运算,用矩阵或向量形式表示,有 ２、性质 （1）对称性： （2）线性性： （3）正定性： １、长度的概念 当且仅当 时 二、向量的长度与夹角 令 为ｎ维向量α 的长度（模或范数）. 特别 长度为１的向量称为单位向量. （1）正定性： （2）齐次性： （3）三角不等式： ２、性质 （4）柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式: 当且仅当α与β的线性相关时，等号成立. 注 ①当 时， ②由非零向量α得到单位向量 是α的单位向量. 称为把α单位化或标准化. 的过程
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线性代数相似矩阵讲解.pptx
5.2相同矩阵
定义1设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使
P1APB,
则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进
行运算P1AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P
称为把A变成B的相似变换矩阵.
1.等价关系
(1)反身性A与A本身相似.
(2)对称性若A与B相似,则B与A相似.
(3)传递性若A与B相似,B与C相似,
则A与C相似.
111
2.PA1A2PPA1PPA2P.
3.若A与B相似,则Am与Bm相似m为正整数.
111
4.Pk1A1k2A2Pk1PA1Pk2PA2P
其中是任意常数
k1,k2.
定理1若n阶矩阵A与
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线性代数4_3相似矩阵与矩阵对角化2.ppt
第三节 相似矩阵与矩阵 对角化的条件 ;一、相似矩阵与相似变换的概念;1. 等价关系;5. 若A～B,则 |A| = |B|.;证明;推论 若 阶方阵A与对角阵;利用对角矩阵计算矩阵多项式; 利用上
述结论可以
很方便地计
算矩阵A 的
多项式 .;定理;证明;命题得证.;说明;例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？;解之得基础解系;求得基础解系;解之得基础解系;A能否对角化？若能对角;解之得基础解系;所以 可对角化.;注意;练习题;思考题;思考题解答
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线性代数课件4-2相似矩阵和矩阵对角化.ppt
课件*第二节相似矩阵和矩阵对角化本节目的：利用相似变换把一个矩阵化成对角矩阵，并且讨论矩阵可对角化的条件和相似变换阵的求解方法。相似矩阵的定义课件*自反性：；定义3已知矩阵，是两个阶方阵如果存在一个满秩矩阵使得相似关系满足以下性质：则称，相似，记作传递性：对称性：；一些有用的定理课件*定理3相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。证明：因为相似，所以存在可逆阵使得0102若方阵能与一个对角阵相似，则称可对角化方阵可对角化的判定条件定理4阶方阵可以与一个对角型矩阵相似的充分必要条件是，有个线性无关的特征向量。推论如果阶方阵与对角矩阵相似，则；也是的特征值。证明假设存在可逆矩阵，使得01为
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线性代数3.2相似矩阵和矩阵可对角化的条件.ppt
如果存在一个 阶;定义3.3 设A,B是n 阶矩阵,;则 。;可以有;和传递性.;若 ,;设 , ,;条件是;可以对角化.;是唯一确定的.;;应满足的条件。;由;基础解系 。;得到基础解系 。;这里不作详细介绍。
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线性代数5—4对称矩阵的相似矩阵.ppt
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定理1 对称矩阵的特征值为实数.
证明
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说
明，均指实对称矩阵．
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于是有