线性代数_第5章_相似矩阵及二次型.ppt

定理 对称矩阵必可正交对角化。 即设A是对称矩阵，则存在正交矩阵Q 使得 推论 对称矩阵特征值的重数必等于其 对应的最大无关特征向量的个数。 例1 (P127 例12) 把对称矩阵 正交对角化。 第1步:求特征值。 (特征值必都是实数) 第2步:求线性无关的特征向量。 对 ，解方程组 求得基础解系(即无关特征向量，几个向量？) 对 ，解方程组 求得基础解系(即无关特征向量，几个向量？) 前面的 第3步:检验重特征值对应的特征向量是否正交， 如果不正交，用施密特过程正交化，再把 正交的特征向量单位化。 第4步:把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。 单位化： 则 令 例2 (P139 习题20) 设3阶对称矩阵A的特征值为 与特征值 对应的特征向量为 求A。 提示：设对应于 的无关特征向量为 则 说明 是方程组 的两个无关的解(基础解系)，因此，上面方程组的 任意两个无关的解都是对应于 的特征向量。 解(1)可求得 再正交化单位化构成正交矩阵Q 第五章 相似矩阵及二次型 §5.4 对称矩阵的对角化 §5.3 相似矩阵 §5.2 方阵的特征值与特征向量 §5.1 向量的内积、长度及正交性 §5.5 二次型及其标准形 §5.6 用配方法化二次型成标准形 §5.7 正定二次型 §5.5 二次型其次标准形 引言 判别下面方程的几何图形是什么？ 作旋转变换 代入(1)左边，化为： 见下图 称为n维(或n元)的二次型. 定义 含有n个变量 的二次齐次函数 三维的二次型为 再改写： 关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！ 对称 一般地，对于n维的二次型 上式称为二次型的矩阵表示。也常记为 (对称) 其中 任给一个对称矩阵A，令 可唯一地 确定一个二次型． 反之，任给一个二次型 f 可找到对称矩阵A使得 . 而且对称矩阵A是唯一. 因为, 设 xTAx = xTBx (A,B都是对称矩阵), 即(以三维为例) 令 类似 令 类似 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.记作r(f). 二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 这说明： 例1 写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。 解 问： 在二次型 中,如不限制 A对称, A唯一吗? 定义 只含平方项的二次型 称为二次型的标准形(或法式)。 平方项系数只在 中取值的标准形 (注：这里规范形要求系数为1的项排 在前面，其次排系数为-1的项。与书上略有不同。) 称为二次型的规范形。 目的： 对给定的二次型 找可逆的线性变换(坐标变换)： 代入(1)式，使之成为标准形 称上面过程为化二次型为标准形。 用矩阵书写化二次型为标准形： (其中D为对角矩阵) 注意到 与D都是对称矩阵，而二次型与对称矩阵是一一对应关系，故“化二次型为标准形”又等价于 对给定的对称矩阵A，找可逆矩阵C，使 问：这件事情能够做到吗？以前学过吗？ （对矩阵B） B 的特征值为 对于 ，解方程组 同解方程组为 ，令 ，得基础解系 因此，对应于特征值 的所有特征向量为 对于 ，解方程组 同解方程组为 ，令 ，得基础解系 因此，对应于特征值 的所有特征向量为 回答问题： (1) 向量 满足 , 是 A 的特征向量吗？ (2) 实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗? (3) 矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值______。 ，A 有一个特征值为______。 (4) ，A 有一个特征值为______。 可逆, A 的特征值一定不等于______。 (6) 一个特征值对应于几个特征向量? 一个特征