20120118第五章相似矩阵.ppt

推论2 n阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是，A的每一个ti重特征值对应ti个线性无关的特征向量。 若一个有重特征值的矩阵相似于对角阵，由定理5.6和定理5.4，A的 重特征值一定得对应 个线性无关的特征向量（以保证A有n个线性无关的特征向量），因而有: 例8 判断下列矩阵能否相似于对角矩阵，若能，则求相似变换矩阵 解 （1）由 为二重特征值，又 其秩 当 时， 得 故 只对应一个线性无关的特征向量，不能相似于对角形. （2）由 对应2个线性无关的特征向量，即 可对角化 所以 得解 所以存在 为单特征值，它有且仅有一个线性无关的特征向量，由 对应的线性无关特征向量为 由题意有： 解 因为有三个互异特征值，故可取 例9 设三阶方阵A的三个特征值 且对应的特征向量分别是 求矩阵 * §5.1 方阵的特征值与特征向量 问题： 在一些应用问题中常会用到一系列的运算 ： 解决的办法：能否找一个数 和一个非零向量使 ，从而化简运算。 这样的数 和向量 X 就是这一节要讨论的方阵的特征值和特征向量。 第五章 相似矩阵 5.1.1 特征值和特征向量的概念 1. 定义5.1 设方阵 ，若有数 和非零n维向量X，使 （5.1） 成立，则称数 是方阵A的特征值，称向量X为方阵A的对应于特征值 的特征向量。 问题是：如何找 与 X? 例1 设 由于 故任取 都有 由定义5.1，数3是A的特征值，任何一个非零三维向量X都是A的特征向量。 3. 求一般矩阵A的特征值的方法。 2. 对类似上述特殊矩阵，较容易直接得到方程 的解X和数 。 但对一般方阵A而言， 是绝大多数非零向量难以满足的方程，仅从矩阵A不容易直接看出它的特征值和特征向量。 将（5.1）式变形为： （5.2） 4.特征多项式 注： 是一个 次多项式，方程 在复数域内必有n个根，它们就是矩阵的全部特征值. 从而n阶方阵在复数域内有n个特征值. 则齐次线性方程组（5.2）有非零解的充要条件是 为了方便起见，称 为矩阵A的特征多项式 例 求下面矩阵A的特征值。 解 5.矩阵的特征值和矩阵的关系 定理5.1 设n阶方阵 的n个特征值为： 则 证 （5.6） A的特征多项式可表示为： (1）当 是的特征值时， 令 的行列式展开式中，主对角线上元素的乘积是其中一项： 而行列式展开后，每项为取自于不同行不同列的 个元素乘积，展开式的其余项至多包含 个主对角线上元素. 因此，特征多项式中含 和 的项只能在主对角元素乘积这一项中出现，故应有： （2）因为 将它与（5.6）比较，即得 求一般矩阵A的特征值 后，求方程组（5.2）的非零解，得到A的关于 的全部特征向量。 7.求一般矩阵A的对应特征值的特征向量的方法。 推论 n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值非零. 6.方阵A的迹 例2 求下面矩阵A的特征值和特征向量。 解 由 ，得 得解 因此，上式在 不同时为0时，给出 A 关于 的全体特征向量 。 此时 是A的二重根，它对应有二个线性无关的特征向量： 给出A关于 的全体特征向量. 只对应一个线性无关的特征向量 求解得 解 例3 求 的特征值和特征向量。 此时A的二重特征值-2,只对应一个线性无关的特征向量 问题：从