线性代数 第五章 二次型.ppt

Augustin Louis Cauchy Born: 21 Aug 1789 in Paris, France Died: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France * 第五章 二次型 §5.1 二次型及其矩阵表示 ?? §5.2 §5.3 二次型的系统研究是从 18 世纪开始的 起源于对二次曲线/面的分类问题的讨论 主要内容： 一、二次型及其矩阵表示 二、标准形的定义,二次型化为标准形 三、矩阵合同的定义 一. 二次型(quadratic form)的定义 ? 第五章 二次型 §5.1 二次型及其矩阵表示 n元实二次型 第五章 二次型 §5.1 二次型及其矩阵表示 f(x1,x2)=3x12+3x22+2x1x2 = 此时A称为二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵A对应的二次型. 对矩阵A的秩叫做二次型f的秩. ? ? ? 第五章 二次型 §5.1 二次型及其矩阵表示 二次型与它的矩阵是一一对应的 (1)二次型f = 3x12+3x22+2x1x2+4x1x3?4x2x3 f 的矩阵A= 3 1 2 1 3 -2 2 -2 0 , 则二次型f = x12+x22+x32 ? 2x1x3 (2) f 的矩阵A= 1 0 ?1 0 1 0 ?1 0 1 , ? ? ? 第五章 二次型 §5.1 二次型及其矩阵表示 (y1, y2, …, yn) k1 0 … 0 0 k2 … 0 … … … … 0 0 … kn y1 y2 … yn 定义 二. 二次型的标准型 这种只含平方项的二次型称为标准型的二次型 x =Pn y ? ? ? 第五章 二次型 §5.1 二次型及其矩阵表示 f(x) = xTAx = (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y = g(y) 对n阶对称矩阵A,寻求可逆矩阵P, 使得 寻求可逆的线性变换x = Py, 使得二次型化成标准型 PTAP = k1 0 … 0 0 k2 … 0 … … … … 0 0 … kn ? ? ? 第五章 二次型 §5.1 二次型及其矩阵表示 三. 矩阵的合同 An与Bn合同(congruent): ?可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. 记为: A ? ? B. (1) 反身性: A A; (2) 对称性: A B ? B A; (3) 传递性: A B, B C ? A C. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同. 作业 P151 1. (B) 1(1), (3); 2 ? ? ? 第五章 二次型 §5.2 化二次型为标准形 §5.2 化二次型为标准形 定理5.2. 对于任何一个n元实二次型f = xTAx, 都有正交变换x = Qy, 使f化为标准形 f = ?1y12+ ?2y22 + … + ?nyn2, 其中?1, ?2, …, ?n为A的n个特征值, Q 的列向量就是A的对应的n个单位正 交特征向量. 正交变换下的标准形 一. 用正交变换化实二次型为标准形 将定理5.1换成二次型的语言 ? ? ? Theo5.4 §5.2 化二次型为标准形 第五章 二次型 例1. 用正交变换把将二次型 f(x1, x2, x3) = x12+x22+x32?2x1x3 化为标准形. |?E–A| = ?(?–1)(?–2). 所以A的特征值为?1= 0, ?2= 1, ?3= 2. 代入(?E–A)x = 0求得对应的特征向量 ?1 = (1, 0, 1)T, ?2 = (0, 1, 0)T, ?3 = (1, 0, –1)T. 它们是两两正交的. 解: f 的矩阵A = 1 0 ?1 0 1 0 ?1 0 1 , ? ? ? §5.2 化二次型为标准形 第五章 二次型 所以A的特征值为?1= 0, ?2= 1, ?3= 2. 代入(?E–A)x = 0求得对应的特征向量 ?1 = (1, 0,