线性代数第五章二次型.pptx

一ｎ元二次型与对称矩阵二二次型与对称矩阵的标准形三二次型与对称矩阵的有定性第六章二次型

一、ｎ元二次型的概念1、二次型及其矩阵的二次齐次多项式定义5.1含有ｎ个变量①称为二次型．或记为注①当常数项为实数时，称为实二次型；②当常数项为复数时，称为复二次型．

DCBA定义只含有平方项的二次型称为二次型的标准形．定义E特别地，称F为二次型的规范形．

二次型的矩阵表示二次型的和式表示

其中矩阵Ａ为对称矩阵.则二次型．令PART01

任一二次型ｆ对称矩阵Ａ添加标题任一对称矩阵Ａ添加标题二次型ｆ添加标题一一对应添加标题ｆ称为对称矩阵Ａ的二次型；添加标题Ａ称为二次型ｆ的矩阵；添加标题对称矩阵Ａ的秩称为二次型ｆ的秩．添加标题

复数域Ｃ上的４元二次型01练习写出下列二次型的对称矩阵．02实数域上Ｒ的３元二次型例１1）实数域Ｒ上的２元二次型03

(二)．线性变换定义5.2关系式01称为由变量02到变量03的一个线性变量替换,简称04线性替换05

矩阵非退化的线性替换.以上线性替换可以表示为线性替换的矩阵.时称该线性替换为

添加标题即线性替换是非退化的,则01添加标题其中B=CTAC为对称矩阵.03添加标题代入二次型xTAx,则02添加标题因此yTBy是以B为矩阵的n元二次型04

例题将以下二次型化为标准形

定义设Ａ,Ｂ为ｎ阶方阵，若存在ｎ阶可逆阵Ｐ，则称Ａ合同于Ｂ,记为①反身性②对称性③传递性性质④合同矩阵具有相同的秩.⑤与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵.等价使得

5.2二次型与对称矩阵的标准形定理5.1任何一个二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形.添加标题用配方的法化二次型为标准形．添加标题

5.2二次型与对称矩阵的标准形用配方的法化二次型为标准形．添加标题01定理5.1任何一个二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形.添加标题02例题添加标题03

例题定理5.2对任意一个对称矩阵A,存在一个非奇异矩阵C,使得CTAC为对角形.即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同.

用正交替换法化二次型为标准形.其中01定理5.3任何一个二次型一定存在正交矩阵Q,使得经过正交替换,02是矩阵A的全部特征值.把它化为标准形

用正交变换化二次型为标准形的具体步骤第一章

例3例2