线性代数第五章第三节.ppt

相似矩阵的概念 主要内容 相似矩阵的性质 矩阵对角化的步骤 第 三 节 相似矩阵 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 一、相似矩阵的概念 定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, P 为 n 阶可逆 矩阵, 且 P-1AP = B , 对 A 进行运算 P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵. 而矩阵 B 相似于矩阵 C , 则矩阵 A 相似于矩阵 C. (1) 自反性　 即一个矩阵与它自身相似; (2) 对称性　 即若矩阵 A 相似于矩阵 B , 则矩阵 B 也相似于矩阵 A; (3) 传递性　 即若矩阵 A 相似于矩阵 B , 二、相似矩阵的性质 相似描述了矩阵之间的一种关系, 这种关系 具有下面的性质: 矩阵. 因而 A 与 B 有相同的特征值, 相同的行列式. 相似矩阵具有下列性质：下设 A，B 是同阶 定理 3 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则 |A - ?E| = |B - ?E| , 推论 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 ? = diag(?1 , ?2 , ··· , ?n) 相似，则 ?1 , ?2 , ··· , ?n 即是 A 的 n 个特征值. g(A) 与 g(B) 相似. 证明略. 定理 若矩阵 A 与 B 相似, k 是常数, m 是 正整数, g(x) = a0xm + a1xm-1 + ··· + am , 则 kA 与 kB 相似, Am 与 Bm 相似, 定理 若矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 且矩阵 A 可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似. 些运算. 不难验算, 记为 ? . 在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算很简便, 如 果一个矩阵能够相似于对角矩阵, 则可能简化某 例如, 如果令 的性质,可得 的可逆矩阵 P ? 如果我们要计算 A10 或 An , 直接计算, 运算 量很大也不易找出规律. 利用 A 相似于对角矩阵 那么, 是否每个矩阵都能相似于对角矩阵? 如果能 相似于对角矩阵, 怎样求出这个对角矩阵及相应 下面我们就来讨论这个问题. 定理 4 n 阶方阵 A 相似于对角矩阵 ? 的充 要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量. 推论 若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值, 则A 必能相似于对角矩阵. 一定能对角化. 对于 n 阶方阵 A , 若存在可逆矩阵 P , 使 P-1AP = ? (? 为对角矩阵),则称 A 能对角化. 对于 能对角化的矩阵，我们称求对角矩阵 ? 和可逆 矩阵 P 使 P-1AP = ? 的过程为把矩阵 A 对角化. 由前面的讨论可知, 当 A 的特征方程没有重根时, A 一定能对角化; 当 A 的特征方程有重根时,这时 A 不一定有 n 个线性无关的特征向量, 所以 A 不 n1 + n2 + ··· + ns = n. 三、矩阵对角化的步骤 设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的 步骤如下： Step1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A 有 s 个不同的特征值 ?1 , ?2 , ··· , ?s ，它们的重 数分别为 n1, n2 , ··· , ns , 有 Step2 : 对 A 的每个特征值 ?i ,求(A - ?iE)x = 0 的基础解系, 设为 ( i = 1, 2, ··· , s ) . 以这些向量为列构造矩阵