大学线性代数第五章第三节 实对称矩阵的对角化.ppt

实对称矩阵的对角化 * 内积、施密特正交规范化方法 定义：n维实向量 称 为向量 与 的内积（数量积）。 若 为行向量，则 向量内积的性质： 线性性 对称性 等号成立当且仅当 正定性 定义：实数 称为向量的长度（或模，或范数） 若 称 为单位向量。 向量长度的性质： （1）非负性： 当 时， 当 时， （2）齐次性： （3）柯西—施瓦兹不等式： （4）三角不等式： 向量的单位化： 若 则 考虑 即 的模为1，为单位向量，称为把 单位化。 非零向量 和 的夹角余弦: 定义：非零向量 的夹角是 注： （1）零向量与任何向量都正交。 （2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。 当向量 的内积为零时，即 时， 即 时，称向量 正交。 定义: 定义： 正交向量组：非零实向量 两两正交。 正交单位向量组： （标准正交向量组） 非零实向量 两两正交， 且每个向量长度全为1。 即 例1：正交向量组是线性无关的。 定义 　　方阵　为正交矩阵的充分必要条件是　的行 （列）向量都是单位向量，且两两正交。 如: 定义： 例2 n 阶实矩阵 A 是正交矩阵 A的列（行）向量组为单位正交向量组。 证明：设 将A按列分块，设 A是正交矩阵 即 即A的列向量组是单位正交向量组。 n 个n 维向量，若长度为1，且两两正交，则以它们为列 （行） 向量构成的矩阵一定是正交矩阵。 简单的说明 即 设A=(aij)为n阶正交矩阵,由 ,得 由 得 ，所以上述结论对A的列向量也成立. （αi，αi）=1 （αi ，αj）=0 i≠j 正交矩阵的性质 ①设A是正交矩阵,则 =1或 ; ②设A是正交矩阵,则 也是正交矩 阵; ③设A,B是正交矩阵,则AB也是正交矩阵 ④ 施密特正交规范化方法 把该向量组规范正交化. （1）正交化，取 ， （2）单位化，取 几　何　解　释 证明 用归纳法：r =1时显然； 故正交；又 解　根据正交化条件确定组合系数，得到正交化的向量组。 例3： 例4 解 例4： 把基础解系正交化，即为所求．即取 定理6　实对称矩阵的特征值为实数. 证明 于是有 两式相减，得 类似地有，实反对称矩阵的特征值 只能是零或纯虚数. 说明 证明 于是 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交 定理7 用实对称矩阵的所有特征向量将其正交化的步骤： ① 求出矩阵A的所有特征值（标出重数） 对每一个特征值λ求出它所对应的一组 线性无关特征向量（个数刚好与重数相同）。 ③ 将每组特征向量作组内标准正交化（组间向量自然是正交的） ④ 将全部正交化后的向量合并成为一个矩阵P，就是我们要求的能将A对角化的矩阵。 定理8 设A为实对称矩阵,则存在正交矩阵Q,使得 其中 是A的特征值. 证明：对A 的阶数n 作归纳法。