线性代数 第14讲-实对称矩阵对角化.pdf
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线性代数课件4-4实对称矩阵的对角化.ppt
课件*第四节实对称矩阵的对角化一、对称矩阵的性质二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化一、对称矩阵的性质课件*定理实对称矩阵的特征值必为实数.证明:0102证明于是二、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化课件*根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：1.2.解01例设实对称阵求正交矩阵P将A对角化02课件课件
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线性代数—实对称矩阵的对角化.ppt
第三节 END * * 并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化. 为了讨论实对称矩阵的有关性质，需要研究向量内积和正交的概念和性质。 定义 两个n维向量 向量的内积具有如下基本特性： 证略. 一、向量的内积, 正交和长度 向量长度的性质: 由定义可知 定义 例1 证 二、正交向量组和正交矩阵 定义 显然零向量与任何向量都正交。 ? ? n维基本单位向量组 是两两正交的。 显然有 例2 解 即得所求向量为 定义 若非零向量 两两正交， 则称之为正交向量组。 定理 正交向量组必线性无关。 证 设 是正交向量组， 施密特正交化方法 证略。 例3 解
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线性代数三节实对称矩阵的对角化.ppt
实对称矩阵的对角化 * * 内积、施密特正交规范化方法. 定义：n维实向量 称 为向量 与 的内积（数量积）。 若 为行向量，则 向量内积的性质： 线性性 对称性 等号成立当且仅当 正定性 定义：实数 称为向量的长度（或模，或范数） 若 称 为单位向量。 向量的单位化： 若 则 考虑 即 的模为1，为单位向量，称为把 单位化。 向量长度的性质： （1）非负性： 当 时， 当 时， （2）齐次性： （3）柯西—席瓦兹不等式： （4）三角不等式： 非零向量 和 的夹角余
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《同济版线性代数课件--§4对称矩阵的对角化》课件.ppt
§4 对称矩阵的对角化 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 定理5 对称矩阵的特征值为实数. 一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 定理7 推论 定理6 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法 解 例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵. (1) 第一步 求 A 的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系 解之得基础解系 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化 于是得正交阵 利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为： 将特征向量正交化; 3. 2
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线性代数第5章第2节矩阵的相似与矩阵的对角化.ppt
第五章第二节;相似矩阵的定义及性质;性质2:;推论：若矩阵 与对角阵 相似，;利用对角矩阵计算矩阵的幂和矩阵多项式; 利用上
述结论可以
很方便地计
算矩阵A 的
多项式 .;证明;;定理得证.;注意：;定理2 方阵A的不同特征值所对应的特征向量是线性无关的. ; x1a1+x2a2+…+xmam=0. 即 l1x1a1+l2x2a2+…+lmxmam=0. 一次次地左乘A, 得;上式左端第二个矩阵的行列式是范德蒙行列式, 由于li各不相同, 故此行列式不等于零,
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线性代数（第5版)课件：矩阵相似对角化.ppt
例1三个特征值的代数重数、几何维数均为1.——X1=(1,-1,0)T——X2=(1,-1,1)T——X3=(0,1,-1)T例2代数重数、几何维数均为1.代数重数、几何维数均为2.——X1=(1,1,2)T——X2=(1,1,0)T,X3=(-1,0,1)T例3代数重数、几何维数均为1.代数重数2，几何维数1.——X1=(0,0,1)T——X2=(1,2,-1)T6.A的互不相同的特征值对应的特征向量证:s＝1,因为特征向量不为零,故结论成立假设s=m－1时结论成立,即线性无关.s=m:令用A左乘(1),由得：得：线性无关代入(1)得而线性无关线性无关.（P143数学归纳法证明)∴k1=k2
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线性代数5.2 矩阵的相似对角化.ppt
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线性代数课件-矩阵的对角化.pptx
第三节矩阵的对角化一、矩阵的特征根与特征向量
一、特征值与特征向量的概念说明
例1解
例2证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则证明再继续施行上述步骤次，就得
二,特征值和特征向量的性质证明
证明则即类推之，有
把上列各式合写成矩阵形式，得
注意010203的．１.属于不同特征值的特征向量是线性无关组合仍是属于这个特征值的特征向量．２.属于同一特征值的特征向量的非零线性值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征
解例：
二、矩阵的对角化
A能否对角化？若能对角例1解
解之得基础解系
所以可对角化.
即矩阵的列向
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大学线性代数第五章第三节 实对称矩阵的对角化.ppt
实对称矩阵的对角化 * 内积、施密特正交规范化方法 定义：n维实向量 称 为向量 与 的内积（数量积）。 若 为行向量，则 向量内积的性质： 线性性 对称性 等号成立当且仅当 正定性 定义：实数 称为向量的长度（或模，或范数） 若 称 为单位向量。 向量长度的性质： （1）非负性： 当 时， 当 时， （2）齐次性： （3）柯西—施瓦兹不等式： （4）三角不等式： 向量的单位化： 若 则 考虑 即 的模为1，为单位向量，称为把 单位化。 非零向量 和 的夹角余弦:
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《线性代数》16实对称矩阵的相似对角化-教学课件（非AI生成）.ppt
★用相似变换将实对称阵的对角化实对称阵的相似矩阵并不是任何矩阵都能进行相似对角化，但实对称矩阵一定能够相似对角化，本节通过总结实对称矩阵的几个特征，说明它一定能相似对角化。*实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。（1）两端取转置，得：注：一般n阶实矩阵的特征值虽然一定有n个，但不一定都为实数。*性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。对一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。性质1说明实对称矩阵的特征值全为实数，当特征方程组的系数都是实数时，它的解也都是实数，故实对称矩阵的特征向量都可以取为实向量证**性质3
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线性代数4_3相似矩阵与矩阵对角化2.ppt
第三节 相似矩阵与矩阵 对角化的条件 ;一、相似矩阵与相似变换的概念;1. 等价关系;5. 若A～B,则 |A| = |B|.;证明;推论 若 阶方阵A与对角阵;利用对角矩阵计算矩阵多项式; 利用上
述结论可以
很方便地计
算矩阵A 的
多项式 .;定理;证明;命题得证.;说明;例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？;解之得基础解系;求得基础解系;解之得基础解系;A能否对角化？若能对角;解之得基础解系;所以 可对角化.;注意;练习题;思考题;思考题解答
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线性代数课件4-2相似矩阵和矩阵对角化.ppt
课件*第二节相似矩阵和矩阵对角化本节目的：利用相似变换把一个矩阵化成对角矩阵，并且讨论矩阵可对角化的条件和相似变换阵的求解方法。相似矩阵的定义课件*自反性：；定义3已知矩阵，是两个阶方阵如果存在一个满秩矩阵使得相似关系满足以下性质：则称，相似，记作传递性：对称性：；一些有用的定理课件*定理3相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。证明：因为相似，所以存在可逆阵使得0102若方阵能与一个对角阵相似，则称可对角化方阵可对角化的判定条件定理4阶方阵可以与一个对角型矩阵相似的充分必要条件是，有个线性无关的特征向量。推论如果阶方阵与对角矩阵相似，则；也是的特征值。证明假设存在可逆矩阵，使得01为
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线性代数3.2相似矩阵和矩阵可对角化的条件.ppt
如果存在一个 阶;定义3.3 设A,B是n 阶矩阵,;则 。;可以有;和传递性.;若 ,;设 , ,;条件是;可以对角化.;是唯一确定的.;;应满足的条件。;由;基础解系 。;得到基础解系 。;这里不作详细介绍。
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线性代数（第5版)课件：实对称矩阵.ppt
机动目录上页下页返回结束线性代数复习实对称矩阵特征值和特征向量的性质实对称矩阵的对角化定理定理定义:设An×n,Bn×n,若存在可逆阵P,使P-1AP＝B,则称A相似于B，记A~B.复习An×n有n个不同特征值(充分不必要)A的每一个ki重特征值对应ki个线性无关的特征向量An×n相似于对角矩阵定理A有n个线性无关的特征向量1.实对称矩阵的特征值为实数，特征向量为实向量.一、实对称矩阵特征值和特征向量的性质2.实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必正交.证：任取实对称矩阵A对应于不同特征值的特征向量,则将转置后再用右乘得：3.实对称矩阵A的k重特征值必对应k个线性无关特征向量A有n个线性无关特
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线性代数4.1二次型和对称矩阵.ppt
Ch4 二次型 ;定义4.1 只含有二次项的n元多项式;令;例如二次型;的矩阵为;反之，;故二次型可以用矩阵的形式表示：;例如对称矩阵;又如;A对应的二次型为:;给定一个n 元二次型 ; 在平面解析几何中,;定义4.2 设两组变量;(4.3)称为非退化的线性替换.;例如转轴变换;给定二次型; 定义4.3 设A,B是两个n 阶矩阵,;它具有如下性质：