线性代数（第5版)课件：实对称矩阵.ppt

机动目录上页下页返回结束线性代数复习实对称矩阵特征值和特征向量的性质实对称矩阵的对角化定理定理定义:设An×n,Bn×n,若存在可逆阵P,使P-1AP＝B,则称A相似于B，记A~B.复习An×n有n个不同特征值(充分不必要)A的每一个ki重特征值对应ki个线性无关的特征向量An×n相似于对角矩阵定理A有n个线性无关的特征向量1.实对称矩阵的特征值为实数，特征向量为实向量.一、实对称矩阵特征值和特征向量的性质2.实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必正交.证：任取实对称矩阵A对应于不同特征值的特征向量,则将转置后再用右乘得：3.实对称矩阵A的k重特征值必对应k个线性无关特征向量A有n个线性无关特征向量A可对角化二、实对称矩阵的对角化1.定理对实对称矩阵A，存在正交矩阵Q，使得由性质3，(——由P得正交阵Q?)正交化、单位化?由性质2，不同特征值对应特征向量正交，只要将同一特征值对应的线性无关特征向量正交化,再将n个向量组成的正交向量组单位化后竖排即得Q.Q-1AQ为对角阵(＝QTAQ)(3)将各重根对应的线性无关特征向量正交化.(4)将全部正交向量组单位化得(1)求A的全部不同特征值且Q-1AQ=QTAQ=为对角阵，其主对角线上元素由各特征向量对应的特征值排成.(5)以为列向量构成矩阵Q即为所求正交矩阵,2.实对称矩阵对角化时,求正交矩阵的步骤:(2)求每个特征值(i=1,2,…,s)对应的线性无关特征向量——的基础解系例2设求正交矩阵Q,使Q-1AQ为对角阵。解：∴A的特征值为对,齐次线性方程组(3E－A)X＝O的系数矩阵(3E－A)＝对,齐次线性方程组(－A)X＝O的系数矩阵(－A)＝∴A的属于特征值0的线性无关特征向量为将正交化得∴A的属于特征值3的线性无关特征向量为令则：Q-1AQ＝QTAQ将单位化得：例3.设3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,3,属于1,2的特征向量分别为(1)求A的属于特征值3的特征向量；(2)求矩阵A.解：(1)设A的属于特征值3的一个特征向量为则：基础解系为故A的属于特征值3的全部特征向量为(2)是R3的一组正交基.单位化得标准正交基记则：Q-1AQ＝QTAQ例4(02研)A为3阶实对称矩阵,且满足A2＋2A＝O已知A的秩为2，求A的全部特征值.由A2＋2A＝O得而≠O解：设为A的一个特征值，对应特征向量为，则∵实对称矩阵A必可对角化，且r(A)＝2∴A的全部特征值为相似矩阵有相同的秩!已知A的特征值之和为1，特征值之积为－12,(1)求a、b；(2)求正交矩阵Q,使得QTAQ＝例5(03考研)设A＝(b0)，∴b=2(1)a+2-2=a=1,b2＝4(2)解：机动目录上页下页返回结束*