北京工业大学线性代数第五章第三节矩阵的对角化.ppt

第三节 矩阵的对角化 一．矩阵的对角化的概念 二．矩阵的对角化判别与计算 * 一．矩阵的对角化的概念 若n 阶方阵A 与对角阵 相似，则称 A 可对角化． 若A 可对角化，则Am就比较容易计算了． 问题： 如何判别一个方阵是否可对角化？若 能够对角化，如何找可逆矩阵P？ 定义： 二.矩阵可对角化的判别与计算 A可对角化 ? A~Λ ?存在可逆矩阵 使得 ? A有n个线性无关的特征向量 由上面的讨论可得矩阵A可对角化的充要条件 . 定理1： n 阶方阵A可对角化?A 有n 个线性 无关的特征向量． 上述定理告诉我们，找可逆矩阵P，使得 为对角阵，关键是找出A的n个线性 无关的特征向量满足 此时令 则 是数域P上n 阶矩阵A 的所有 设 是齐次线性方程组 不同的特征值， 是否仍线性无关？ 的一个基础解系， 它们是A的线性无关的特征向量， 我们自然会想： 把这m组向量合在一起，即 问题： 如何判断数域P上的n阶矩阵A有没有n个 线性无关的特征向量？ 定理2： 证： 线性无关． 是数域P上n 阶矩阵A 的不同的 设 于 线性无关的特征向量，则 分别是A的属 特征值， 设 两边左乘A得 ① ①式两边乘以 得 以上两式相减得 从而有 由于 线性无关，则 代入①式得 由于 线性无关，则 线性无关． 从而 数域P上n 阶矩阵A的属于不同特征值 对于A的不同的特征值的个数作归纳，可得到 定理3： 是数域P上n 阶矩阵A 的 设 是A的属于 的 不同的特征值， 线性无关． 线性无关的特征向量， 则向量组 推论1： 的特征向量线性无关。 从定理3可得出如下结论： 是数域P上n 阶矩阵A 的所有 设 是齐次线性方程组 不同的特征值， 一定线性无关． 的一个基础解系， 则A的特征向量组 ① 若 的特征向量，从而A不可以对角化； 则A没有n个线性无关 ② 若 特征向量，从而A可以对角化；此时令 则A有n个线性无关的 则P为n 阶可逆矩阵，且 称为 的相似标准型． 注：除了主对角线元素排列次序外，A 的相似 标准型是被 A 唯一确定的。 特别地， 推论2： 数域P上n 阶矩阵A若有n个互异的特 征值，则A 可对角化。 例1 已知 问A 是否可对角化， 若可以，求可逆矩阵P ，使得 为对角阵． 解： A 有两个互异的特征值，故可对角化 ⑴ 求矩阵A的特征值. ⑵求A 的特征向量, 的一个基础解系是 对于 求得齐次线性方程组 的一个基础解系是 对于 求得齐次线性方程组 线性无关，令 ∴ P 可逆，且 例2 设 (书P168—例5. 3. 1) 判断A是否可对角化，若可对角化， 求可逆矩阵P ，使得 为对角阵． 解： ⑴ 求A 的特征值 一个基础解系为 ⑵求A 的特征向量, 对于 求得齐次线性方程组 一个基础解系为 对于 求得齐次线性方程组 因为3阶矩阵 A 有3个线性无关的特征向量， 故A可对角化. ⑶ 构造可逆矩阵P 令 * * *