北京工业大学线性代数第五章第一节特征值与特征向量[精心整理].ppt

第五章 矩阵的相似标准型 第一节 特征值与特征向量 第二节 相似矩阵 第三节 矩阵的对角化 第四节 实对称矩阵的对角化 * 第一节 特征值与特征向量 一． 特征值与特征向量的概念 二．特征值与特征向量的计算 三．特征值与特征向量的性质 一．特征值与特征向量的概念 定义： 设A 是数域P 上一个n 阶方阵，如果 存在数域P 中数 和n 维非零列向量 ,使得 特征值 的特征向量． 则称 为矩阵A 的特征值， 称为A 的属于 在几何中，在物理学、化学、生物学等 的问题. 于是我们抽象出下述概念. 学科中，都会提出是否有向量 满足 如①:设 因此，2是A 的一个特征值， 是A的属于 由于 特征值2的一个特征向量． 因此，-3是A 的一个特征值， 是A的属于 特征值-3的一个特征向量． 又 ① 方阵A可以有有限个不同的特征值． ② A的属于同一个特征值的特征向量有无穷 多个(且加上0向量构成向量空间即特征子空间)． 说明： 若 则对于 因此， 也是A的属于特征值 的特征向量。 若 则 从而 是A的属于特征值 的特征向量。 ③几何意义： 若把矩阵看成变换，其特征向量 就是在该变换下保持不变或伸长(缩短)的向量， 特征向量对应的特征值就是伸缩系数。 例 平面上关于横轴的对称变换 可用下述矩阵 A来表示： 易知，坐标轴上的向量(a,0)T,(0,b)T (a,b≠0) 是A的特征向量，对应的特征值是1，-1。 例 设平面上绕原点O的转角为 的旋转变换 可用下述矩阵A来表示： 由于任一非零向量在该变换下都不会变成它的 倍数，因此A没有特征值和特征向量。 问题： 如何判断数域P上的n阶矩阵是否有特征 值和特征向量？若有的话，如何求A的全部特 征值和特征向量？ 是A 的属于特征值 的特征向量 分析： 二．特征值与特征向量存在性的判断与计算 定义： 则 称为A的特征多项式． 方程 称为A的特征方程． 即 定理1 设A 是数域P 上一个n 阶方阵，则 是A的一个特征值　　　是A的特征方程 在数域P 上的一个根． 是A的属于特征值　的特征向量 齐次线性方程组 的一个非零解。 说明： (1)判断A是否有特征值就是判断A的特征方程 在数域P 上是否有根． (2)求A的属于特征值　的全部特征向量就是求 齐次线性方程组 的所有非零解。 ☆ 求A 的全部特征值及特征向量的方法： 2.求A的特征方程 在数域P 上的 全部根 的全部特征值； 就是A 则 1. 计算A的特征多项式 3. 对于A 的每一个特征值 , 求出齐次线性 方程组 的一个基础解系， 则A的属于 的全部特征向量为 不全为零 例1 求如下矩阵的特征值和特征向量. (1)求特征值. 则A的全部特征值为 解： A的特征方程为 分别求出 的非零解 (2)求特征向量, 即 对于特征值 解齐次线性方程组 对系数矩阵做初等行变换： 一个基础解系是 则A的属于 的全部特征向量是 (c1为不等于零任意常数) 一般解是 对于特征值 解齐次线性方程组 对系数矩阵做出等行变换： 一个基础解系是 (c2, c3为不全为零任意常数). 一般解是 则A的属于 的全部特征向量是 例２ 求如下矩阵的特征值和特征向量. A的全部特征值为 解： A的特征方程是 实数域上的矩阵A没有特征值,复数域上的矩阵 对于特征值 求出齐次线性方程组 基础解系为 则A的属于 的全部特征向量是 (c1为不等于零任意常数) 对于特征值 求出齐次线性方程组 基础解系为 则A的属于 的全部特征向量是 (c2为不等于零任意常数) 问题：对角矩阵(上、下三角阵)的特征值是 什么？　 答案：主对角线元素 （1）属于矩阵A的每一个特征值的特征向量加上 零向量构成向量空间，称为A的特征子空间。 说明几个概念和结论： （2）把特征值 在特征多项式中的重数称为 的代数重数；把属于 的特征子空间的维数称 为 的几何重数。 （3）对于每一个特征值而言，它的几何重数总 不大于它的代数重数。 三．特征值与特征向量的性质 特征值为 ，则 则 ⑴ ⑵ ☆n 阶方阵A的迹： n 阶方阵A的主对角元素之 和称为A的迹，记作 tr(A), 即 性质1 设 的特征值为 行列式的另一种计算法 性质2 复特征值. 复数域上